微积分学示例

$\int \frac{8 \sin^{3} (\sqrt{x})}{\sqrt{x}} d x$

解题步骤 1

由于 $8$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $8$ 移到积分外。

$8 \int \frac{\sin^{3} (\sqrt{x})}{\sqrt{x}} d x$

解题步骤 2

应用指数的基本规则。

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解题步骤 2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$8 \int \frac{\sin^{3} (x^{\frac{1}{2}})}{\sqrt{x}} d x$

解题步骤 2.2

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$8 \int \frac{\sin^{3} (x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

解题步骤 2.3

通过将 $x^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$8 \int \sin^{3} (x^{\frac{1}{2}}) {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

解题步骤 2.4

将 ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.4.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$8 \int \sin^{3} (x^{\frac{1}{2}}) x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

解题步骤 2.4.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $- 1$ 。

$8 \int \sin^{3} (x^{\frac{1}{2}}) x^{\frac{- 1}{2}} d x$

解题步骤 2.4.3

将负号移到分数的前面。

$8 \int \sin^{3} (x^{\frac{1}{2}}) x^{- \frac{1}{2}} d x$

解题步骤 3

使 $u_{1} = x^{\frac{1}{2}}$ 。然后使 $d u_{1} = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} d x$ ，以便 $- d u_{1} = \frac{- 1}{2 x^{\frac{1}{2}}} d x$ 。使用 $u_{1}$ 和 $d$ $u_{1}$ 进行重写。

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解题步骤 3.1

设 $u_{1} = x^{\frac{1}{2}}$ 。求 $\frac{d u_{1}}{d x}$ 。

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解题步骤 3.1.1

对 $x^{\frac{1}{2}}$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 3.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}$

解题步骤 3.1.3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

解题步骤 3.1.4

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

解题步骤 3.1.5

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}$

解题步骤 3.1.6

化简分子。

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解题步骤 3.1.6.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}$

解题步骤 3.1.6.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}$

解题步骤 3.1.7

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}$

解题步骤 3.1.8

化简。

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解题步骤 3.1.8.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 3.1.8.2

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 3.2

使用 $u_{1}$ 和 $d u_{1}$ 重写该问题。

$8 \int 2 \sin^{3} (u_{1}) d u_{1}$

解题步骤 4

由于 $2$ 对于 $u_{1}$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$8 (2 \int \sin^{3} (u_{1}) d u_{1})$

解题步骤 5

将 $2$ 乘以 $8$ 。

$16 \int \sin^{3} (u_{1}) d u_{1}$

解题步骤 6

因式分解出 $\sin^{2} (u_{1})$ 。

$16 \int \sin^{2} (u_{1}) \sin (u_{1}) d u_{1}$

解题步骤 7

使用勾股定理，将 $\sin^{2} (u_{1})$ 重写成 $1 - \cos^{2} (u_{1})$ 的形式。

$16 \int (1 - \cos^{2} (u_{1})) \sin (u_{1}) d u_{1}$

解题步骤 8

使 $u_{2} = \cos (u_{1})$ 。然后使 $d u_{2} = - \sin (u_{1}) d u_{1}$ ，以便 $- \frac{1}{\sin (u_{1})} d u_{2} = d u_{1}$ 。使用 $u_{2}$ 和 $d$ $u_{2}$ 进行重写。

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解题步骤 8.1

设 $u_{2} = \cos (u_{1})$ 。求 $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ 。

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解题步骤 8.1.1

对 $\cos (u_{1})$ 求导。

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})]$

解题步骤 8.1.2

$\cos (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $- \sin (u_{1})$ 。

$- \sin (u_{1})$

解题步骤 8.2

使用 $u_{2}$ 和 $d u_{2}$ 重写该问题。

$16 \int - 1 + {u_{2}}^{2} d u_{2}$

解题步骤 9

将单个积分拆分为多个积分。

$16 (\int - 1 d u_{2} + \int {u_{2}}^{2} d u_{2})$

解题步骤 10

应用常数不变法则。

$16 (- u_{2} + C + \int {u_{2}}^{2} d u_{2})$

解题步骤 11

根据幂法则， ${u_{2}}^{2}$ 对 $u_{2}$ 的积分是 $\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}$ 。

$16 (- u_{2} + C + \frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + C)$

解题步骤 12

化简。

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解题步骤 12.1

组合 $\frac{1}{3}$ 和 ${u_{2}}^{3}$ 。

$16 (- u_{2} + C + \frac{{u_{2}}^{3}}{3} + C)$

解题步骤 12.2

化简。

$16 (- u_{2} + \frac{1}{3} {u_{2}}^{3}) + C$

解题步骤 13

代回替换每一个积分法替换变量。

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解题步骤 13.1

使用 $\cos (u_{1})$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$16 (- \cos (u_{1}) + \frac{1}{3} \cos^{3} (u_{1})) + C$

解题步骤 13.2

使用 $x^{\frac{1}{2}}$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$16 (- \cos (x^{\frac{1}{2}}) + \frac{1}{3} \cos^{3} (x^{\frac{1}{2}})) + C$

解题步骤 14

化简。

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解题步骤 14.1

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $\cos^{3} (x^{\frac{1}{2}})$ 。

$16 (- \cos (x^{\frac{1}{2}}) + \frac{\cos^{3} (x^{\frac{1}{2}})}{3}) + C$

解题步骤 14.2

运用分配律。

$16 (- \cos (x^{\frac{1}{2}})) + 16 \frac{\cos^{3} (x^{\frac{1}{2}})}{3} + C$

解题步骤 14.3

将 $- 1$ 乘以 $16$ 。

$- 16 \cos (x^{\frac{1}{2}}) + 16 \frac{\cos^{3} (x^{\frac{1}{2}})}{3} + C$

解题步骤 14.4

组合 $16$ 和 $\frac{\cos^{3} (x^{\frac{1}{2}})}{3}$ 。

$- 16 \cos (x^{\frac{1}{2}}) + \frac{16 \cos^{3} (x^{\frac{1}{2}})}{3} + C$

解题步骤 15

重新排序项。

$- 16 \cos (x^{\frac{1}{2}}) + \frac{16}{3} \cos^{3} (x^{\frac{1}{2}}) + C$

微积分学 示例

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