微积分学示例

$lim_{x \to - \frac{1}{2}} \frac{x + 2 x^{2}}{x^{2} - \frac{1}{4}}$

解题步骤 1

合并项。

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解题步骤 1.1

要将 $x^{2}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$lim_{x \to - \frac{1}{2}} \frac{x + 2 x^{2}}{x^{2} \cdot \frac{4}{4} - \frac{1}{4}}$

解题步骤 1.2

组合 $x^{2}$ 和 $\frac{4}{4}$ 。

$lim_{x \to - \frac{1}{2}} \frac{x + 2 x^{2}}{\frac{x^{2} \cdot 4}{4} - \frac{1}{4}}$

解题步骤 1.3

在公分母上合并分子。

$lim_{x \to - \frac{1}{2}} \frac{x + 2 x^{2}}{\frac{x^{2} \cdot 4 - 1}{4}}$

解题步骤 2

计算极限值。

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解题步骤 2.1

化简极限自变量。

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解题步骤 2.1.1

将分子乘以分母的倒数。

$lim_{x \to - \frac{1}{2}} (x + 2 x^{2}) \frac{4}{x^{2} \cdot 4 - 1}$

解题步骤 2.1.2

将 $x + 2 x^{2}$ 乘以 $\frac{4}{x^{2} \cdot 4 - 1}$ 。

$lim_{x \to - \frac{1}{2}} \frac{(x + 2 x^{2}) \cdot 4}{x^{2} \cdot 4 - 1}$

解题步骤 2.2

因为项 $4$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$4 lim_{x \to - \frac{1}{2}} \frac{x + 2 x^{2}}{x^{2} \cdot 4 - 1}$

解题步骤 3

运用洛必达法则。

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解题步骤 3.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 3.1.1

取分子和分母极限值。

$4 \frac{lim_{x \to - \frac{1}{2}} x + 2 x^{2}}{lim_{x \to - \frac{1}{2}} x^{2} \cdot 4 - 1}$

解题步骤 3.1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 3.1.2.1

当 $x$ 趋于 $- \frac{1}{2}$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$4 \frac{lim_{x \to - \frac{1}{2}} x + lim_{x \to - \frac{1}{2}} 2 x^{2}}{lim_{x \to - \frac{1}{2}} x^{2} \cdot 4 - 1}$

解题步骤 3.1.2.2

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$4 \frac{lim_{x \to - \frac{1}{2}} x + 2 lim_{x \to - \frac{1}{2}} x^{2}}{lim_{x \to - \frac{1}{2}} x^{2} \cdot 4 - 1}$

解题步骤 3.1.2.3

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$4 \frac{lim_{x \to - \frac{1}{2}} x + 2 {(lim_{x \to - \frac{1}{2}} x)}^{2}}{lim_{x \to - \frac{1}{2}} x^{2} \cdot 4 - 1}$

解题步骤 3.1.2.4

将 $- \frac{1}{2}$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 3.1.2.4.1

将 $- \frac{1}{2}$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$4 \frac{- \frac{1}{2} + 2 {(lim_{x \to - \frac{1}{2}} x)}^{2}}{lim_{x \to - \frac{1}{2}} x^{2} \cdot 4 - 1}$

解题步骤 3.1.2.4.2

将 $- \frac{1}{2}$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$4 \frac{- \frac{1}{2} + 2 {(- \frac{1}{2})}^{2}}{lim_{x \to - \frac{1}{2}} x^{2} \cdot 4 - 1}$

解题步骤 3.1.2.5

化简答案。

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解题步骤 3.1.2.5.1

化简每一项。

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解题步骤 3.1.2.5.1.1

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 3.1.2.5.1.1.1

对 $- \frac{1}{2}$ 运用乘积法则。

$4 \frac{- \frac{1}{2} + 2 {(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2}}{lim_{x \to - \frac{1}{2}} x^{2} \cdot 4 - 1}$

解题步骤 3.1.2.5.1.1.2

对 $\frac{1}{2}$ 运用乘积法则。

$4 \frac{- \frac{1}{2} + 2 {(- 1)}^{2} \frac{1^{2}}{2^{2}}}{lim_{x \to - \frac{1}{2}} x^{2} \cdot 4 - 1}$

解题步骤 3.1.2.5.1.2

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$4 \frac{- \frac{1}{2} + 2 \cdot 1 \frac{1^{2}}{2^{2}}}{lim_{x \to - \frac{1}{2}} x^{2} \cdot 4 - 1}$

解题步骤 3.1.2.5.1.3

将 $\frac{1^{2}}{2^{2}}$ 乘以 $1$ 。

$4 \frac{- \frac{1}{2} + 2 \frac{1^{2}}{2^{2}}}{lim_{x \to - \frac{1}{2}} x^{2} \cdot 4 - 1}$

解题步骤 3.1.2.5.1.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.1.2.5.1.4.1

从 $2^{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$4 \frac{- \frac{1}{2} + 2 \frac{1^{2}}{2 \cdot 2}}{lim_{x \to - \frac{1}{2}} x^{2} \cdot 4 - 1}$

解题步骤 3.1.2.5.1.4.2

约去公因数。

$4 \frac{- \frac{1}{2} + 2 \frac{1^{2}}{2 \cdot 2}}{lim_{x \to - \frac{1}{2}} x^{2} \cdot 4 - 1}$

解题步骤 3.1.2.5.1.4.3

重写表达式。

$4 \frac{- \frac{1}{2} + \frac{1^{2}}{2}}{lim_{x \to - \frac{1}{2}} x^{2} \cdot 4 - 1}$

解题步骤 3.1.2.5.1.5

一的任意次幂都为一。

$4 \frac{- \frac{1}{2} + \frac{1}{2}}{lim_{x \to - \frac{1}{2}} x^{2} \cdot 4 - 1}$

解题步骤 3.1.2.5.2

在公分母上合并分子。

$4 \frac{\frac{- 1 + 1}{2}}{lim_{x \to - \frac{1}{2}} x^{2} \cdot 4 - 1}$

解题步骤 3.1.2.5.3

将 $- 1$ 和 $1$ 相加。

$4 \frac{\frac{0}{2}}{lim_{x \to - \frac{1}{2}} x^{2} \cdot 4 - 1}$

解题步骤 3.1.2.5.4

用 $0$ 除以 $2$ 。

$4 \frac{0}{lim_{x \to - \frac{1}{2}} x^{2} \cdot 4 - 1}$

解题步骤 3.1.3

计算分母的极限值。

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解题步骤 3.1.3.1

计算极限值。

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解题步骤 3.1.3.1.1

当 $x$ 趋于 $- \frac{1}{2}$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$4 \frac{0}{lim_{x \to - \frac{1}{2}} x^{2} \cdot 4 - lim_{x \to - \frac{1}{2}} 1}$

解题步骤 3.1.3.1.2

因为项 $4$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$4 \frac{0}{4 lim_{x \to - \frac{1}{2}} x^{2} - lim_{x \to - \frac{1}{2}} 1}$

解题步骤 3.1.3.1.3

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$4 \frac{0}{4 {(lim_{x \to - \frac{1}{2}} x)}^{2} - lim_{x \to - \frac{1}{2}} 1}$

解题步骤 3.1.3.1.4

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $- \frac{1}{2}$ 时此极限值为常数。

$4 \frac{0}{4 {(lim_{x \to - \frac{1}{2}} x)}^{2} - 1 \cdot 1}$

解题步骤 3.1.3.2

将 $- \frac{1}{2}$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$4 \frac{0}{4 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 1 \cdot 1}$

解题步骤 3.1.3.3

化简答案。

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解题步骤 3.1.3.3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.1.3.3.1.1

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 3.1.3.3.1.1.1

对 $- \frac{1}{2}$ 运用乘积法则。

$4 \frac{0}{4 {(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2} - 1 \cdot 1}$

解题步骤 3.1.3.3.1.1.2

对 $\frac{1}{2}$ 运用乘积法则。

$4 \frac{0}{4 {(- 1)}^{2} \frac{1^{2}}{2^{2}} - 1 \cdot 1}$

解题步骤 3.1.3.3.1.2

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$4 \frac{0}{4 \cdot 1 \frac{1^{2}}{2^{2}} - 1 \cdot 1}$

解题步骤 3.1.3.3.1.3

将 $\frac{1^{2}}{2^{2}}$ 乘以 $1$ 。

$4 \frac{0}{4 \frac{1^{2}}{2^{2}} - 1 \cdot 1}$

解题步骤 3.1.3.3.1.4

一的任意次幂都为一。

$4 \frac{0}{4 \frac{1}{2^{2}} - 1 \cdot 1}$

解题步骤 3.1.3.3.1.5

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$4 \frac{0}{4 (\frac{1}{4}) - 1 \cdot 1}$

解题步骤 3.1.3.3.1.6

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 3.1.3.3.1.6.1

约去公因数。

$4 \frac{0}{4 (\frac{1}{4}) - 1 \cdot 1}$

解题步骤 3.1.3.3.1.6.2

重写表达式。

$4 \frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

解题步骤 3.1.3.3.1.7

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$4 \frac{0}{1 - 1}$

解题步骤 3.1.3.3.2

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$4 (\frac{0}{0})$

解题步骤 3.1.3.3.3

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$4 (\frac{0}{0})$

解题步骤 3.1.3.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$4 (\frac{0}{0})$

解题步骤 3.1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$4 (\frac{0}{0})$

解题步骤 3.2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to - \frac{1}{2}} \frac{x + 2 x^{2}}{x^{2} \cdot 4 - 1} = lim_{x \to - \frac{1}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [x + 2 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} \cdot 4 - 1]}$

解题步骤 3.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 3.3.1

对分子和分母进行求导。

$4 lim_{x \to - \frac{1}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [x + 2 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} \cdot 4 - 1]}$

解题步骤 3.3.2

根据加法法则， $x + 2 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ 。

$4 lim_{x \to - \frac{1}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} \cdot 4 - 1]}$

解题步骤 3.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$4 lim_{x \to - \frac{1}{2}} \frac{1 + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} \cdot 4 - 1]}$

解题步骤 3.3.4

计算 $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ 。

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解题步骤 3.3.4.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$4 lim_{x \to - \frac{1}{2}} \frac{1 + 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} \cdot 4 - 1]}$

解题步骤 3.3.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$4 lim_{x \to - \frac{1}{2}} \frac{1 + 2 \cdot 2 x}{\frac{d}{d x} [x^{2} \cdot 4 - 1]}$

解题步骤 3.3.4.3

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$4 lim_{x \to - \frac{1}{2}} \frac{1 + 4 x}{\frac{d}{d x} [x^{2} \cdot 4 - 1]}$

解题步骤 3.3.5

重新排序项。

$4 lim_{x \to - \frac{1}{2}} \frac{4 x + 1}{\frac{d}{d x} [x^{2} \cdot 4 - 1]}$

解题步骤 3.3.6

根据加法法则， $x^{2} \cdot 4 - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2} \cdot 4] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$4 lim_{x \to - \frac{1}{2}} \frac{4 x + 1}{\frac{d}{d x} [x^{2} \cdot 4] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

解题步骤 3.3.7

计算 $\frac{d}{d x} [x^{2} \cdot 4]$ 。

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解题步骤 3.3.7.1

将 $4$ 移到 $x^{2}$ 的左侧。

$4 lim_{x \to - \frac{1}{2}} \frac{4 x + 1}{\frac{d}{d x} [4 \cdot x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

解题步骤 3.3.7.2

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$4 lim_{x \to - \frac{1}{2}} \frac{4 x + 1}{4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

解题步骤 3.3.7.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$4 lim_{x \to - \frac{1}{2}} \frac{4 x + 1}{4 \cdot 2 x + \frac{d}{d x} [- 1]}$

解题步骤 3.3.7.4

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$4 lim_{x \to - \frac{1}{2}} \frac{4 x + 1}{8 x + \frac{d}{d x} [- 1]}$

解题步骤 3.3.8

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$4 lim_{x \to - \frac{1}{2}} \frac{4 x + 1}{8 x + 0}$

解题步骤 3.3.9

将 $8 x$ 和 $0$ 相加。

$4 lim_{x \to - \frac{1}{2}} \frac{4 x + 1}{8 x}$

解题步骤 4

计算极限值。

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解题步骤 4.1

因为项 $\frac{1}{8}$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$4 (\frac{1}{8}) lim_{x \to - \frac{1}{2}} \frac{4 x + 1}{x}$

解题步骤 4.2

当 $x$ 趋于 $- \frac{1}{2}$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$4 (\frac{1}{8}) \frac{lim_{x \to - \frac{1}{2}} 4 x + 1}{lim_{x \to - \frac{1}{2}} x}$

解题步骤 4.3

当 $x$ 趋于 $- \frac{1}{2}$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$4 (\frac{1}{8}) \frac{lim_{x \to - \frac{1}{2}} 4 x + lim_{x \to - \frac{1}{2}} 1}{lim_{x \to - \frac{1}{2}} x}$

解题步骤 4.4

因为项 $4$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$4 (\frac{1}{8}) \frac{4 lim_{x \to - \frac{1}{2}} x + lim_{x \to - \frac{1}{2}} 1}{lim_{x \to - \frac{1}{2}} x}$

解题步骤 4.5

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $- \frac{1}{2}$ 时此极限值为常数。

$4 (\frac{1}{8}) \frac{4 lim_{x \to - \frac{1}{2}} x + 1}{lim_{x \to - \frac{1}{2}} x}$

解题步骤 5

将 $- \frac{1}{2}$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 5.1

将 $- \frac{1}{2}$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$4 (\frac{1}{8}) \frac{4 (- \frac{1}{2}) + 1}{lim_{x \to - \frac{1}{2}} x}$

解题步骤 5.2

将 $- \frac{1}{2}$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$4 (\frac{1}{8}) \frac{4 (- \frac{1}{2}) + 1}{- \frac{1}{2}}$

解题步骤 6

化简答案。

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解题步骤 6.1

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 6.1.1

从 $8$ 中分解出因数 $4$ 。

$4 \frac{1}{4 (2)} \frac{4 (- \frac{1}{2}) + 1}{- \frac{1}{2}}$

解题步骤 6.1.2

约去公因数。

$4 \frac{1}{4 \cdot 2} \frac{4 (- \frac{1}{2}) + 1}{- \frac{1}{2}}$

解题步骤 6.1.3

重写表达式。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{4 (- \frac{1}{2}) + 1}{- \frac{1}{2}}$

解题步骤 6.2

将分子乘以分母的倒数。

$\frac{1}{2} ((4 (- \frac{1}{2}) + 1) (- 1 \cdot 2))$

解题步骤 6.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.3.1

从 $(4 (- \frac{1}{2}) + 1) (- 1 \cdot 2)$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{1}{2} (2 ((4 (- \frac{1}{2}) + 1) \cdot (- 1)))$

解题步骤 6.3.2

约去公因数。

$\frac{1}{2} (2 ((4 (- \frac{1}{2}) + 1) \cdot (- 1)))$

解题步骤 6.3.3

重写表达式。

$(4 (- \frac{1}{2}) + 1) \cdot (- 1)$

解题步骤 6.4

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$(- 4 (\frac{1}{2}) + 1) \cdot - 1$

解题步骤 6.5

组合 $- 4$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$(\frac{- 4}{2} + 1) \cdot - 1$

解题步骤 6.6

用 $- 4$ 除以 $2$ 。

$(- 2 + 1) \cdot - 1$

解题步骤 6.7

将 $- 2$ 和 $1$ 相加。

$- 1 \cdot - 1$

解题步骤 6.8

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$1$

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