微积分学示例

$\int_{0}^{3} {(x - 1)}^{2} + 2 d x$

解题步骤 1

将单个积分拆分为多个积分。

$\int_{0}^{3} {(x - 1)}^{2} d x + \int_{0}^{3} 2 d x$

解题步骤 2

使 $u = x - 1$ 。然后使 $d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 2.1

设 $u = x - 1$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 2.1.1

对 $x - 1$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

解题步骤 2.1.2

根据加法法则， $x - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 2.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 2.1.4

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$1 + 0$

解题步骤 2.1.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$1$

解题步骤 2.2

将下限代入替换 $u = x - 1$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = 0 - 1$

解题步骤 2.3

从 $0$ 中减去 $1$ 。

$u_{lower} = - 1$

解题步骤 2.4

将上限代入替换 $u = x - 1$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = 3 - 1$

解题步骤 2.5

从 $3$ 中减去 $1$ 。

$u_{upper} = 2$

解题步骤 2.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = - 1$

$u_{upper} = 2$

解题步骤 2.7

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$\int_{- 1}^{2} u^{2} d u + \int_{0}^{3} 2 d x$

解题步骤 3

根据幂法则， $u^{2}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{1}{3} u^{3}$ 。

$\frac{1}{3} u^{3}]_{- 1}^{2} + \int_{0}^{3} 2 d x$

解题步骤 4

应用常数不变法则。

$\frac{1}{3} u^{3}]_{- 1}^{2} + 2 x]_{0}^{3}$

解题步骤 5

代入并化简。

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解题步骤 5.1

计算 $\frac{1}{3} u^{3}$ 在 $2$ 处和在 $- 1$ 处的值。

$(\frac{1}{3} \cdot 2^{3}) - \frac{1}{3} {(- 1)}^{3} + 2 x]_{0}^{3}$

解题步骤 5.2

计算 $2 x$ 在 $3$ 处和在 $0$ 处的值。

$(\frac{1}{3} \cdot 2^{3}) - \frac{1}{3} {(- 1)}^{3} + (2 \cdot 3) - 2 \cdot 0$

解题步骤 5.3

化简。

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解题步骤 5.3.1

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{1}{3} \cdot 8 - \frac{1}{3} {(- 1)}^{3} + (2 \cdot 3) - 2 \cdot 0$

解题步骤 5.3.2

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $8$ 。

$\frac{8}{3} - \frac{1}{3} {(- 1)}^{3} + (2 \cdot 3) - 2 \cdot 0$

解题步骤 5.3.3

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{8}{3} - \frac{1}{3} \cdot - 1 + (2 \cdot 3) - 2 \cdot 0$

解题步骤 5.3.4

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{8}{3} + 1 (\frac{1}{3}) + (2 \cdot 3) - 2 \cdot 0$

解题步骤 5.3.5

将 $\frac{1}{3}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{8}{3} + \frac{1}{3} + (2 \cdot 3) - 2 \cdot 0$

解题步骤 5.3.6

在公分母上合并分子。

$\frac{8 + 1}{3} + (2 \cdot 3) - 2 \cdot 0$

解题步骤 5.3.7

将 $8$ 和 $1$ 相加。

$\frac{9}{3} + (2 \cdot 3) - 2 \cdot 0$

解题步骤 5.3.8

约去 $9$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.8.1

从 $9$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 \cdot 3}{3} + (2 \cdot 3) - 2 \cdot 0$

解题步骤 5.3.8.2

约去公因数。

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解题步骤 5.3.8.2.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 \cdot 3}{3 (1)} + (2 \cdot 3) - 2 \cdot 0$

解题步骤 5.3.8.2.2

约去公因数。

$\frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 1} + (2 \cdot 3) - 2 \cdot 0$

解题步骤 5.3.8.2.3

重写表达式。

$\frac{3}{1} + (2 \cdot 3) - 2 \cdot 0$

解题步骤 5.3.8.2.4

用 $3$ 除以 $1$ 。

$3 + (2 \cdot 3) - 2 \cdot 0$

解题步骤 5.3.9

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$3 + 6 - 2 \cdot 0$

解题步骤 5.3.10

将 $- 2$ 乘以 $0$ 。

$3 + 6 + 0$

解题步骤 5.3.11

将 $6$ 和 $0$ 相加。

$3 + 6$

解题步骤 5.3.12

将 $3$ 和 $6$ 相加。

$9$

解题步骤 6

微积分学 示例

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