微积分学示例

$lim_{x \to 0} \frac{1 - e^{x}}{\ln (2 - e^{x})}$

解题步骤 1

运用洛必达法则。

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解题步骤 1.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 1.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{x \to 0} 1 - e^{x}}{lim_{x \to 0} \ln (2 - e^{x})}$

解题步骤 1.1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 1.1.2.1

计算极限值。

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解题步骤 1.1.2.1.1

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} e^{x}}{lim_{x \to 0} \ln (2 - e^{x})}$

解题步骤 1.1.2.1.2

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$\frac{1 - lim_{x \to 0} e^{x}}{lim_{x \to 0} \ln (2 - e^{x})}$

解题步骤 1.1.2.1.3

将极限移入指数中。

$\frac{1 - e^{lim_{x \to 0} x}}{lim_{x \to 0} \ln (2 - e^{x})}$

解题步骤 1.1.2.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1 - e^{0}}{lim_{x \to 0} \ln (2 - e^{x})}$

解题步骤 1.1.2.3

化简答案。

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解题步骤 1.1.2.3.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.2.3.1.1

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} \ln (2 - e^{x})}$

解题步骤 1.1.2.3.1.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 0} \ln (2 - e^{x})}$

解题步骤 1.1.2.3.2

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \ln (2 - e^{x})}$

解题步骤 1.1.3

计算分母的极限值。

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解题步骤 1.1.3.1

计算极限值。

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解题步骤 1.1.3.1.1

将极限移入对数中。

$\frac{0}{\ln (lim_{x \to 0} 2 - e^{x})}$

解题步骤 1.1.3.1.2

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{0}{\ln (lim_{x \to 0} 2 - lim_{x \to 0} e^{x})}$

解题步骤 1.1.3.1.3

计算 $2$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$\frac{0}{\ln (2 - lim_{x \to 0} e^{x})}$

解题步骤 1.1.3.1.4

将极限移入指数中。

$\frac{0}{\ln (2 - e^{lim_{x \to 0} x})}$

解题步骤 1.1.3.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{\ln (2 - e^{0})}$

解题步骤 1.1.3.3

化简答案。

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解题步骤 1.1.3.3.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.3.3.1.1

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$\frac{0}{\ln (2 - 1 \cdot 1)}$

解题步骤 1.1.3.3.1.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{0}{\ln (2 - 1)}$

解题步骤 1.1.3.3.2

从 $2$ 中减去 $1$ 。

$\frac{0}{\ln (1)}$

解题步骤 1.1.3.3.3

$1$ 的自然对数为 $0$ 。

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.3.3.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.3.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to 0} \frac{1 - e^{x}}{\ln (2 - e^{x})} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1 - e^{x}]}{\frac{d}{d x} [\ln (2 - e^{x})]}$

解题步骤 1.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 1.3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1 - e^{x}]}{\frac{d}{d x} [\ln (2 - e^{x})]}$

解题步骤 1.3.2

根据加法法则， $1 - e^{x}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- e^{x}]$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- e^{x}]}{\frac{d}{d x} [\ln (2 - e^{x})]}$

解题步骤 1.3.3

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- e^{x}]}{\frac{d}{d x} [\ln (2 - e^{x})]}$

解题步骤 1.3.4

计算 $\frac{d}{d x} [- e^{x}]$ 。

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解题步骤 1.3.4.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- e^{x}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [e^{x}]$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{0 - \frac{d}{d x} [e^{x}]}{\frac{d}{d x} [\ln (2 - e^{x})]}$

解题步骤 1.3.4.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{0 - e^{x}}{\frac{d}{d x} [\ln (2 - e^{x})]}$

解题步骤 1.3.5

从 $0$ 中减去 $e^{x}$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{x}}{\frac{d}{d x} [\ln (2 - e^{x})]}$

解题步骤 1.3.6

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = 2 - e^{x}$ 。

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解题步骤 1.3.6.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $2 - e^{x}$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{x}}{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [2 - e^{x}]}$

解题步骤 1.3.6.2

$\ln (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{1}{u}$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{x}}{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [2 - e^{x}]}$

解题步骤 1.3.6.3

使用 $2 - e^{x}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{x}}{\frac{1}{2 - e^{x}} \frac{d}{d x} [2 - e^{x}]}$

解题步骤 1.3.7

根据加法法则， $2 - e^{x}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- e^{x}]$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{x}}{\frac{1}{2 - e^{x}} (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- e^{x}])}$

解题步骤 1.3.8

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{x}}{\frac{1}{2 - e^{x}} (0 + \frac{d}{d x} [- e^{x}])}$

解题步骤 1.3.9

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [- e^{x}]$ 相加。

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{x}}{\frac{1}{2 - e^{x}} \frac{d}{d x} [- e^{x}]}$

解题步骤 1.3.10

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- e^{x}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [e^{x}]$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{x}}{\frac{1}{2 - e^{x}} (- \frac{d}{d x} [e^{x}])}$

解题步骤 1.3.11

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{x}}{\frac{1}{2 - e^{x}} (- e^{x})}$

解题步骤 1.3.12

组合 $\frac{1}{2 - e^{x}}$ 和 $e^{x}$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{x}}{- \frac{e^{x}}{2 - e^{x}}}$

解题步骤 1.4

将分子乘以分母的倒数。

$lim_{x \to 0} - e^{x} (- \frac{2 - e^{x}}{e^{x}})$

解题步骤 1.5

合并因数。

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解题步骤 1.5.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$lim_{x \to 0} 1 e^{x} \frac{2 - e^{x}}{e^{x}}$

解题步骤 1.5.2

将 $e^{x}$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to 0} e^{x} \frac{2 - e^{x}}{e^{x}}$

解题步骤 1.5.3

组合 $e^{x}$ 和 $\frac{2 - e^{x}}{e^{x}}$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} (2 - e^{x})}{e^{x}}$

解题步骤 1.6

约去 $e^{x}$ 的公因数。

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解题步骤 1.6.1

约去公因数。

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} (2 - e^{x})}{e^{x}}$

解题步骤 1.6.2

用 $2 - e^{x}$ 除以 $1$ 。

$lim_{x \to 0} 2 - e^{x}$

解题步骤 2

计算极限值。

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解题步骤 2.1

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$lim_{x \to 0} 2 - lim_{x \to 0} e^{x}$

解题步骤 2.2

计算 $2$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$2 - lim_{x \to 0} e^{x}$

解题步骤 2.3

将极限移入指数中。

$2 - e^{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 3

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$2 - e^{0}$

解题步骤 4

化简答案。

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解题步骤 4.1

化简每一项。

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解题步骤 4.1.1

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$2 - 1 \cdot 1$

解题步骤 4.1.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$2 - 1$

解题步骤 4.2

从 $2$ 中减去 $1$ 。

$1$

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