微积分学示例

$\int \frac{(2 r - 1) \cos (\sqrt{3 {(2 r - 1)}^{2} + 6})}{\sqrt{3 {(2 r - 1)}^{2} + 6}} d r$

解题步骤 1

使 $u_{1} = 3 {(2 r - 1)}^{2} + 6$ 。然后使 $d u_{1} = (24 r - 12) d r$ ，以便 $\frac{1}{12} d u_{1} = (2 r - 1) d r$ 。使用 $u_{1}$ 和 $d$ $u_{1}$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u_{1} = 3 {(2 r - 1)}^{2} + 6$ 。求 $\frac{d u_{1}}{d r}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $3 {(2 r - 1)}^{2} + 6$ 求导。

$\frac{d}{d r} [3 {(2 r - 1)}^{2} + 6]$

解题步骤 1.1.2

将 ${(2 r - 1)}^{2}$ 重写为 $(2 r - 1) (2 r - 1)$ 。

$\frac{d}{d r} [3 ((2 r - 1) (2 r - 1)) + 6]$

解题步骤 1.1.3

使用 FOIL 方法展开 $(2 r - 1) (2 r - 1)$ 。

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解题步骤 1.1.3.1

运用分配律。

$\frac{d}{d r} [3 (2 r (2 r - 1) - 1 (2 r - 1)) + 6]$

解题步骤 1.1.3.2

运用分配律。

$\frac{d}{d r} [3 (2 r (2 r) + 2 r \cdot - 1 - 1 (2 r - 1)) + 6]$

解题步骤 1.1.3.3

运用分配律。

$\frac{d}{d r} [3 (2 r (2 r) + 2 r \cdot - 1 - 1 (2 r) - 1 \cdot - 1) + 6]$

解题步骤 1.1.4

化简并合并同类项。

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解题步骤 1.1.4.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.4.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{d}{d r} [3 (2 \cdot 2 r \cdot r + 2 r \cdot - 1 - 1 (2 r) - 1 \cdot - 1) + 6]$

解题步骤 1.1.4.1.2

通过指数相加将 $r$ 乘以 $r$ 。

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解题步骤 1.1.4.1.2.1

移动 $r$ 。

$\frac{d}{d r} [3 (2 \cdot 2 (r \cdot r) + 2 r \cdot - 1 - 1 (2 r) - 1 \cdot - 1) + 6]$

解题步骤 1.1.4.1.2.2

将 $r$ 乘以 $r$ 。

$\frac{d}{d r} [3 (2 \cdot 2 r^{2} + 2 r \cdot - 1 - 1 (2 r) - 1 \cdot - 1) + 6]$

解题步骤 1.1.4.1.3

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{d}{d r} [3 (4 r^{2} + 2 r \cdot - 1 - 1 (2 r) - 1 \cdot - 1) + 6]$

解题步骤 1.1.4.1.4

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{d}{d r} [3 (4 r^{2} - 2 r - 1 (2 r) - 1 \cdot - 1) + 6]$

解题步骤 1.1.4.1.5

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{d}{d r} [3 (4 r^{2} - 2 r - 2 r - 1 \cdot - 1) + 6]$

解题步骤 1.1.4.1.6

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{d}{d r} [3 (4 r^{2} - 2 r - 2 r + 1) + 6]$

解题步骤 1.1.4.2

从 $- 2 r$ 中减去 $2 r$ 。

$\frac{d}{d r} [3 (4 r^{2} - 4 r + 1) + 6]$

解题步骤 1.1.5

根据加法法则， $3 (4 r^{2} - 4 r + 1) + 6$ 对 $r$ 的导数是 $\frac{d}{d r} [3 (4 r^{2} - 4 r + 1)] + \frac{d}{d r} [6]$ 。

$\frac{d}{d r} [3 (4 r^{2} - 4 r + 1)] + \frac{d}{d r} [6]$

解题步骤 1.1.6

计算 $\frac{d}{d r} [3 (4 r^{2} - 4 r + 1)]$ 。

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解题步骤 1.1.6.1

因为 $3$ 对于 $r$ 是常数，所以 $3 (4 r^{2} - 4 r + 1)$ 对 $r$ 的导数是 $3 \frac{d}{d r} [4 r^{2} - 4 r + 1]$ 。

$3 \frac{d}{d r} [4 r^{2} - 4 r + 1] + \frac{d}{d r} [6]$

解题步骤 1.1.6.2

根据加法法则， $4 r^{2} - 4 r + 1$ 对 $r$ 的导数是 $\frac{d}{d r} [4 r^{2}] + \frac{d}{d r} [- 4 r] + \frac{d}{d r} [1]$ 。

$3 (\frac{d}{d r} [4 r^{2}] + \frac{d}{d r} [- 4 r] + \frac{d}{d r} [1]) + \frac{d}{d r} [6]$

解题步骤 1.1.6.3

因为 $4$ 对于 $r$ 是常数，所以 $4 r^{2}$ 对 $r$ 的导数是 $4 \frac{d}{d r} [r^{2}]$ 。

$3 (4 \frac{d}{d r} [r^{2}] + \frac{d}{d r} [- 4 r] + \frac{d}{d r} [1]) + \frac{d}{d r} [6]$

解题步骤 1.1.6.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ 等于 $n r^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$3 (4 (2 r) + \frac{d}{d r} [- 4 r] + \frac{d}{d r} [1]) + \frac{d}{d r} [6]$

解题步骤 1.1.6.5

因为 $- 4$ 对于 $r$ 是常数，所以 $- 4 r$ 对 $r$ 的导数是 $- 4 \frac{d}{d r} [r]$ 。

$3 (4 (2 r) - 4 \frac{d}{d r} [r] + \frac{d}{d r} [1]) + \frac{d}{d r} [6]$

解题步骤 1.1.6.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ 等于 $n r^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$3 (4 (2 r) - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d r} [1]) + \frac{d}{d r} [6]$

解题步骤 1.1.6.7

因为 $1$ 对于 $r$ 是常数，所以 $1$ 对 $r$ 的导数为 $0$ 。

$3 (4 (2 r) - 4 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d r} [6]$

解题步骤 1.1.6.8

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$3 (8 r - 4 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d r} [6]$

解题步骤 1.1.6.9

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$3 (8 r - 4 + 0) + \frac{d}{d r} [6]$

解题步骤 1.1.6.10

将 $8 r - 4$ 和 $0$ 相加。

$3 (8 r - 4) + \frac{d}{d r} [6]$

解题步骤 1.1.7

因为 $6$ 对于 $r$ 是常数，所以 $6$ 对 $r$ 的导数为 $0$ 。

$3 (8 r - 4) + 0$

解题步骤 1.1.8

化简。

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解题步骤 1.1.8.1

运用分配律。

$3 (8 r) + 3 \cdot - 4 + 0$

解题步骤 1.1.8.2

合并项。

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解题步骤 1.1.8.2.1

将 $8$ 乘以 $3$ 。

$24 r + 3 \cdot - 4 + 0$

解题步骤 1.1.8.2.2

将 $3$ 乘以 $- 4$ 。

$24 r - 12 + 0$

解题步骤 1.1.8.2.3

将 $24 r - 12$ 和 $0$ 相加。

$24 r - 12$

解题步骤 1.2

使用 $u_{1}$ 和 $d u_{1}$ 重写该问题。

$\int \frac{\cos (\sqrt{u_{1}})}{\sqrt{u_{1}}} \cdot \frac{1}{12} d u_{1}$

解题步骤 2

化简。

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解题步骤 2.1

将 $\frac{\cos (\sqrt{u_{1}})}{\sqrt{u_{1}}}$ 乘以 $\frac{1}{12}$ 。

$\int \frac{\cos (\sqrt{u_{1}})}{\sqrt{u_{1}} \cdot 12} d u_{1}$

解题步骤 2.2

将 $12$ 移到 $\sqrt{u_{1}}$ 的左侧。

$\int \frac{\cos (\sqrt{u_{1}})}{12 \sqrt{u_{1}}} d u_{1}$

解题步骤 3

由于 $\frac{1}{12}$ 对于 $u_{1}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{12}$ 移到积分外。

$\frac{1}{12} \int \frac{\cos (\sqrt{u_{1}})}{\sqrt{u_{1}}} d u_{1}$

解题步骤 4

应用指数的基本规则。

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解题步骤 4.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{u_{1}}$ 重写成 ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{1}{12} \int \frac{\cos ({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}{\sqrt{u_{1}}} d u_{1}$

解题步骤 4.2

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{u_{1}}$ 重写成 ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{1}{12} \int \frac{\cos ({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}{{u_{1}}^{\frac{1}{2}}} d u_{1}$

解题步骤 4.3

通过将 ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$\frac{1}{12} \int \cos ({u_{1}}^{\frac{1}{2}}) {({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u_{1}$

解题步骤 4.4

将 ${({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 4.4.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{1}{12} \int \cos ({u_{1}}^{\frac{1}{2}}) {u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u_{1}$

解题步骤 4.4.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $- 1$ 。

$\frac{1}{12} \int \cos ({u_{1}}^{\frac{1}{2}}) {u_{1}}^{\frac{- 1}{2}} d u_{1}$

解题步骤 4.4.3

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{12} \int \cos ({u_{1}}^{\frac{1}{2}}) {u_{1}}^{- \frac{1}{2}} d u_{1}$

解题步骤 5

使 $u_{2} = {u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ 。然后使 $d u_{2} = \frac{1}{2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}}} d u_{1}$ ，以便 $- d u_{2} = \frac{- 1}{2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}}} d u_{1}$ 。使用 $u_{2}$ 和 $d$ $u_{2}$ 进行重写。

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解题步骤 5.1

设 $u_{2} = {u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ 。求 $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ 。

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解题步骤 5.1.1

对 ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ 求导。

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 5.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1}$

解题步骤 5.1.3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

解题步骤 5.1.4

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

解题步骤 5.1.5

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}$

解题步骤 5.1.6

化简分子。

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解题步骤 5.1.6.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1 - 2}{2}}$

解题步骤 5.1.6.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{- 1}{2}}$

解题步骤 5.1.7

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{- \frac{1}{2}}$

解题步骤 5.1.8

化简。

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解题步骤 5.1.8.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{{u_{1}}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 5.1.8.2

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{1}{{u_{1}}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{1}{2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 5.2

使用 $u_{2}$ 和 $d u_{2}$ 重写该问题。

$\frac{1}{12} \int 2 \cos (u_{2}) d u_{2}$

解题步骤 6

由于 $2$ 对于 $u_{2}$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$\frac{1}{12} (2 \int \cos (u_{2}) d u_{2})$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

组合 $2$ 和 $\frac{1}{12}$ 。

$\frac{2}{12} \int \cos (u_{2}) d u_{2}$

解题步骤 7.2

约去 $2$ 和 $12$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (1)}{12} \int \cos (u_{2}) d u_{2}$

解题步骤 7.2.2

约去公因数。

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解题步骤 7.2.2.1

从 $12$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 6} \int \cos (u_{2}) d u_{2}$

解题步骤 7.2.2.2

约去公因数。

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 6} \int \cos (u_{2}) d u_{2}$

解题步骤 7.2.2.3

重写表达式。

$\frac{1}{6} \int \cos (u_{2}) d u_{2}$

解题步骤 8

$\cos (u_{2})$ 对 $u_{2}$ 的积分为 $\sin (u_{2})$ 。

$\frac{1}{6} (\sin (u_{2}) + C)$

解题步骤 9

化简。

$\frac{1}{6} \sin (u_{2}) + C$

解题步骤 10

代回替换每一个积分法替换变量。

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解题步骤 10.1

使用 ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\frac{1}{6} \sin ({u_{1}}^{\frac{1}{2}}) + C$

解题步骤 10.2

使用 $3 {(2 r - 1)}^{2} + 6$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\frac{1}{6} \sin ({(3 {(2 r - 1)}^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}) + C$

微积分学 示例

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