微积分学示例

$x = \frac{y^{4}}{4} + \frac{1}{8 y^{2}}$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d y} (x) = \frac{d}{d y} (\frac{y^{4}}{4} + \frac{1}{8 y^{2}})$

解题步骤 2

$x$ 对 $y$ 的导数为 $x'$ 。

$x'$

解题步骤 3

对方程右边求微分。

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解题步骤 3.1

根据加法法则， $\frac{y^{4}}{4} + \frac{1}{8 y^{2}}$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [\frac{y^{4}}{4}] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{8 y^{2}}]$ 。

$\frac{d}{d y} [\frac{y^{4}}{4}] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{8 y^{2}}]$

解题步骤 3.2

计算 $\frac{d}{d y} [\frac{y^{4}}{4}]$ 。

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解题步骤 3.2.1

因为 $\frac{1}{4}$ 对于 $y$ 是常数，所以 $\frac{y^{4}}{4}$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{1}{4} \frac{d}{d y} [y^{4}]$ 。

$\frac{1}{4} \frac{d}{d y} [y^{4}] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{8 y^{2}}]$

解题步骤 3.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$\frac{1}{4} (4 y^{3}) + \frac{d}{d y} [\frac{1}{8 y^{2}}]$

解题步骤 3.2.3

组合 $4$ 和 $\frac{1}{4}$ 。

$\frac{4}{4} y^{3} + \frac{d}{d y} [\frac{1}{8 y^{2}}]$

解题步骤 3.2.4

组合 $\frac{4}{4}$ 和 $y^{3}$ 。

$\frac{4 y^{3}}{4} + \frac{d}{d y} [\frac{1}{8 y^{2}}]$

解题步骤 3.2.5

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.5.1

约去公因数。

$\frac{4 y^{3}}{4} + \frac{d}{d y} [\frac{1}{8 y^{2}}]$

解题步骤 3.2.5.2

用 $y^{3}$ 除以 $1$ 。

$y^{3} + \frac{d}{d y} [\frac{1}{8 y^{2}}]$

解题步骤 3.3

计算 $\frac{d}{d y} [\frac{1}{8 y^{2}}]$ 。

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解题步骤 3.3.1

因为 $\frac{1}{8}$ 对于 $y$ 是常数，所以 $\frac{1}{8 y^{2}}$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{1}{8} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}}]$ 。

$y^{3} + \frac{1}{8} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}}]$

解题步骤 3.3.2

将 $\frac{1}{y^{2}}$ 重写为 ${(y^{2})}^{- 1}$ 。

$y^{3} + \frac{1}{8} \frac{d}{d y} [{(y^{2})}^{- 1}]$

解题步骤 3.3.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ 等于 $f' (g (y)) g' (y)$ ，其中 $f (y) = y^{- 1}$ 且 $g (y) = y^{2}$ 。

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解题步骤 3.3.3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $y^{2}$ 。

$y^{3} + \frac{1}{8} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d y} [y^{2}])$

解题步骤 3.3.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$y^{3} + \frac{1}{8} (- u^{- 2} \frac{d}{d y} [y^{2}])$

解题步骤 3.3.3.3

使用 $y^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$y^{3} + \frac{1}{8} (- {(y^{2})}^{- 2} \frac{d}{d y} [y^{2}])$

解题步骤 3.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$y^{3} + \frac{1}{8} (- {(y^{2})}^{- 2} (2 y))$

解题步骤 3.3.5

将 ${(y^{2})}^{- 2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.3.5.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$y^{3} + \frac{1}{8} (- y^{2 \cdot - 2} (2 y))$

解题步骤 3.3.5.2

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$y^{3} + \frac{1}{8} (- y^{- 4} (2 y))$

解题步骤 3.3.6

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$y^{3} + \frac{1}{8} (- 2 y^{- 4} y)$

解题步骤 3.3.7

对 $y$ 进行 $1$ 次方运算。

$y^{3} + \frac{1}{8} (- 2 (y^{1} y^{- 4}))$

解题步骤 3.3.8

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$y^{3} + \frac{1}{8} (- 2 y^{1 - 4})$

解题步骤 3.3.9

从 $1$ 中减去 $4$ 。

$y^{3} + \frac{1}{8} (- 2 y^{- 3})$

解题步骤 3.3.10

组合 $- 2$ 和 $\frac{1}{8}$ 。

$y^{3} + \frac{- 2}{8} y^{- 3}$

解题步骤 3.3.11

组合 $\frac{- 2}{8}$ 和 $y^{- 3}$ 。

$y^{3} + \frac{- 2 y^{- 3}}{8}$

解题步骤 3.3.12

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $y^{- 3}$ 移动到分母。

$y^{3} + \frac{- 2}{8 y^{3}}$

解题步骤 3.3.13

约去 $- 2$ 和 $8$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.13.1

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$y^{3} + \frac{2 (- 1)}{8 y^{3}}$

解题步骤 3.3.13.2

约去公因数。

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解题步骤 3.3.13.2.1

从 $8 y^{3}$ 中分解出因数 $2$ 。

$y^{3} + \frac{2 (- 1)}{2 (4 y^{3})}$

解题步骤 3.3.13.2.2

约去公因数。

$y^{3} + \frac{2 \cdot - 1}{2 (4 y^{3})}$

解题步骤 3.3.13.2.3

重写表达式。

$y^{3} + \frac{- 1}{4 y^{3}}$

解题步骤 3.3.14

将负号移到分数的前面。

$y^{3} - \frac{1}{4 y^{3}}$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$x' = y^{3} - \frac{1}{4 y^{3}}$

解题步骤 5

使用 $\frac{d x}{d y}$ 替换 $x'$ 。

$\frac{d x}{d y} = y^{3} - \frac{1}{4 y^{3}}$

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