微积分学示例

$\frac{x + 1}{4^{x}}$

解题步骤 1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x + 1$ 且 $g (x) = 4^{x}$ 。

$\frac{4^{x} \frac{d}{d x} [x + 1] - (x + 1) \frac{d}{d x} [4^{x}]}{{(4^{x})}^{2}}$

解题步骤 2

求微分。

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解题步骤 2.1

将 ${(4^{x})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{4^{x} \frac{d}{d x} [x + 1] - (x + 1) \frac{d}{d x} [4^{x}]}{4^{x \cdot 2}}$

解题步骤 2.1.2

将 $2$ 移到 $x$ 的左侧。

$\frac{4^{x} \frac{d}{d x} [x + 1] - (x + 1) \frac{d}{d x} [4^{x}]}{4^{2 x}}$

解题步骤 2.2

根据加法法则， $x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$\frac{4^{x} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) - (x + 1) \frac{d}{d x} [4^{x}]}{4^{2 x}}$

解题步骤 2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{4^{x} (1 + \frac{d}{d x} [1]) - (x + 1) \frac{d}{d x} [4^{x}]}{4^{2 x}}$

解题步骤 2.4

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{4^{x} (1 + 0) - (x + 1) \frac{d}{d x} [4^{x}]}{4^{2 x}}$

解题步骤 2.5

化简表达式。

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解题步骤 2.5.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{4^{x} \cdot 1 - (x + 1) \frac{d}{d x} [4^{x}]}{4^{2 x}}$

解题步骤 2.5.2

将 $4^{x}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{4^{x} - (x + 1) \frac{d}{d x} [4^{x}]}{4^{2 x}}$

解题步骤 3

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $4$ 。

$\frac{4^{x} - (x + 1) (4^{x} \ln (4))}{4^{2 x}}$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

运用分配律。

$\frac{4^{x} + (- x - 1 \cdot 1) (4^{x} \ln (4))}{4^{2 x}}$

解题步骤 4.2

运用分配律。

$\frac{4^{x} - x (4^{x} \ln (4)) - 1 \cdot 1 (4^{x} \ln (4))}{4^{2 x}}$

解题步骤 4.3

化简每一项。

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解题步骤 4.3.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{4^{x} - x (4^{x} \ln (4)) - 1 (4^{x} \ln (4))}{4^{2 x}}$

解题步骤 4.3.2

将 $- 1 (4^{x} \ln (4))$ 重写为 $- (4^{x} \ln (4))$ 。

$\frac{4^{x} - x (4^{x} \ln (4)) - 4^{x} \ln (4)}{4^{2 x}}$

$\frac{4^{x} - x \cdot 4^{x} \ln (4) - 4^{x} \ln (4)}{4^{2 x}}$

解题步骤 4.4

重新排序项。

$\frac{- 4^{x} x \ln (4) - 4^{x} \ln (4) + 4^{x}}{4^{2 x}}$

微积分学 示例

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