微积分学示例

$7 - {(1.01)}^{- x^{2}}$

解题步骤 1

求微分。

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解题步骤 1.1

根据加法法则， $7 - {(1.01)}^{- x^{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [- {(1.01)}^{- x^{2}}]$ 。

$\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [- {(1.01)}^{- x^{2}}]$

解题步骤 1.2

因为 $7$ 对于 $x$ 是常数，所以 $7$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d x} [- {(1.01)}^{- x^{2}}]$

解题步骤 2

计算 $\frac{d}{d x} [- {(1.01)}^{- x^{2}}]$ 。

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解题步骤 2.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- {1.01}^{- x^{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [{1.01}^{- x^{2}}]$ 。

$0 - \frac{d}{d x} [{1.01}^{- x^{2}}]$

解题步骤 2.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = {1.01}^{x}$ 且 $g (x) = - x^{2}$ 。

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解题步骤 2.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $- x^{2}$ 。

$0 - (\frac{d}{d u} [{1.01}^{u}] \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

解题步骤 2.2.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $1.01$ 。

$0 - ({1.01}^{u} \ln (1.01) \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

解题步骤 2.2.3

使用 $- x^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$0 - ({1.01}^{- x^{2}} \ln (1.01) \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

解题步骤 2.3

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$0 - ({1.01}^{- x^{2}} \ln (1.01) (- \frac{d}{d x} [x^{2}]))$

解题步骤 2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$0 - ({1.01}^{- x^{2}} \ln (1.01) (- (2 x)))$

解题步骤 2.5

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$0 - ({1.01}^{- x^{2}} \ln (1.01) (- 2 x))$

解题步骤 2.6

将 $- 2$ 乘以 $- 1$ 。

$0 + 2 \cdot {1.01}^{- x^{2}} \ln (1.01) x$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

将 $0$ 和 $2 \cdot {1.01}^{- x^{2}} \ln (1.01) x$ 相加。

$2 \cdot {1.01}^{- x^{2}} \ln (1.01) x$

解题步骤 3.2

重新排序 $2 \cdot {1.01}^{- x^{2}} \ln (1.01) x$ 的因式。

$2 \cdot {1.01}^{- x^{2}} x \ln (1.01)$

解题步骤 3.3

将 $2 \cdot {1.01}^{- x^{2}} x \ln (1.01)$ 中的因式重新排序。

$2 x \cdot {1.01}^{- x^{2}} \ln (1.01)$

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