微积分学示例

$\int (\frac{15}{x^{4}} + \frac{8}{x^{5}}) d x$

解题步骤 1

去掉圆括号。

$\int \frac{15}{x^{4}} + \frac{8}{x^{5}} d x$

解题步骤 2

将单个积分拆分为多个积分。

$\int \frac{15}{x^{4}} d x + \int \frac{8}{x^{5}} d x$

解题步骤 3

由于 $15$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $15$ 移到积分外。

$15 \int \frac{1}{x^{4}} d x + \int \frac{8}{x^{5}} d x$

解题步骤 4

应用指数的基本规则。

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解题步骤 4.1

通过将 $x^{4}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$15 \int {(x^{4})}^{- 1} d x + \int \frac{8}{x^{5}} d x$

解题步骤 4.2

将 ${(x^{4})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 4.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$15 \int x^{4 \cdot - 1} d x + \int \frac{8}{x^{5}} d x$

解题步骤 4.2.2

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$15 \int x^{- 4} d x + \int \frac{8}{x^{5}} d x$

解题步骤 5

根据幂法则， $x^{- 4}$ 对 $x$ 的积分是 $- \frac{1}{3} x^{- 3}$ 。

$15 (- \frac{1}{3} x^{- 3} + C) + \int \frac{8}{x^{5}} d x$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

组合 $x^{- 3}$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$15 (- \frac{x^{- 3}}{3} + C) + \int \frac{8}{x^{5}} d x$

解题步骤 6.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- 3}$ 移动到分母。

$15 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) + \int \frac{8}{x^{5}} d x$

解题步骤 7

由于 $8$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $8$ 移到积分外。

$15 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) + 8 \int \frac{1}{x^{5}} d x$

解题步骤 8

应用指数的基本规则。

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解题步骤 8.1

通过将 $x^{5}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$15 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) + 8 \int {(x^{5})}^{- 1} d x$

解题步骤 8.2

将 ${(x^{5})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 8.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$15 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) + 8 \int x^{5 \cdot - 1} d x$

解题步骤 8.2.2

将 $5$ 乘以 $- 1$ 。

$15 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) + 8 \int x^{- 5} d x$

解题步骤 9

根据幂法则， $x^{- 5}$ 对 $x$ 的积分是 $- \frac{1}{4} x^{- 4}$ 。

$15 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) + 8 (- \frac{1}{4} x^{- 4} + C)$

解题步骤 10

化简。

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解题步骤 10.1

化简。

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解题步骤 10.1.1

组合 $x^{- 4}$ 和 $\frac{1}{4}$ 。

$15 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) + 8 (- \frac{x^{- 4}}{4} + C)$

解题步骤 10.1.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- 4}$ 移动到分母。

$15 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) + 8 (- \frac{1}{4 x^{4}} + C)$

解题步骤 10.2

化简。

$\frac{- 5}{x^{3}} + 8 (- \frac{1}{4 x^{4}}) + C$

解题步骤 10.3

化简。

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解题步骤 10.3.1

将负号移到分数的前面。

$- \frac{5}{x^{3}} + 8 (- \frac{1}{4 x^{4}}) + C$

解题步骤 10.3.2

将 $- 1$ 乘以 $8$ 。

$- \frac{5}{x^{3}} - 8 \frac{1}{4 x^{4}} + C$

解题步骤 10.3.3

组合 $- 8$ 和 $\frac{1}{4 x^{4}}$ 。

$- \frac{5}{x^{3}} + \frac{- 8}{4 x^{4}} + C$

解题步骤 10.3.4

约去 $- 8$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 10.3.4.1

从 $- 8$ 中分解出因数 $4$ 。

$- \frac{5}{x^{3}} + \frac{4 \cdot - 2}{4 x^{4}} + C$

解题步骤 10.3.4.2

约去公因数。

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解题步骤 10.3.4.2.1

从 $4 x^{4}$ 中分解出因数 $4$ 。

$- \frac{5}{x^{3}} + \frac{4 \cdot - 2}{4 (x^{4})} + C$

解题步骤 10.3.4.2.2

约去公因数。

$- \frac{5}{x^{3}} + \frac{4 \cdot - 2}{4 x^{4}} + C$

解题步骤 10.3.4.2.3

重写表达式。

$- \frac{5}{x^{3}} + \frac{- 2}{x^{4}} + C$

解题步骤 10.3.5

将负号移到分数的前面。

$- \frac{5}{x^{3}} - \frac{2}{x^{4}} + C$

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