微积分学示例

$\frac{1}{2 \sqrt{x}} d x$

解题步骤 1

将 $\frac{1}{2 \sqrt{x}} d x$ 书写为一个函数。

$f (x) = \frac{1}{2 \sqrt{x}} d x$

解题步骤 2

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 3

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int \frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot (d x) d x$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

组合 $d$ 和 $\frac{1}{2 \sqrt{x}}$ 。

$\int \frac{d}{2 \sqrt{x}} \cdot x d x$

解题步骤 4.2

组合 $\frac{d}{2 \sqrt{x}}$ 和 $x$ 。

$\int \frac{d x}{2 \sqrt{x}} d x$

解题步骤 5

由于 $\frac{d}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{d}{2}$ 移到积分外。

$\frac{d}{2} \int \frac{x}{\sqrt{x}} d x$

解题步骤 6

化简表达式。

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解题步骤 6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{2} \int \frac{x}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

解题步骤 6.2

化简。

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解题步骤 6.2.1

使用负指数规则 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ 将 $x^{\frac{1}{2}}$ 移动到分子。

$\frac{d}{2} \int x \cdot x^{- \frac{1}{2}} d x$

解题步骤 6.2.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 6.2.2.1

将 $x$ 乘以 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 6.2.2.1.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{d}{2} \int x^{1} x^{- \frac{1}{2}} d x$

解题步骤 6.2.2.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{d}{2} \int x^{1 - \frac{1}{2}} d x$

解题步骤 6.2.2.2

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{d}{2} \int x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} d x$

解题步骤 6.2.2.3

在公分母上合并分子。

$\frac{d}{2} \int x^{\frac{2 - 1}{2}} d x$

解题步骤 6.2.2.4

从 $2$ 中减去 $1$ 。

$\frac{d}{2} \int x^{\frac{1}{2}} d x$

解题步骤 7

根据幂法则， $x^{\frac{1}{2}}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ 。

$\frac{d}{2} (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C)$

解题步骤 8

化简答案。

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解题步骤 8.1

组合 $\frac{2}{3}$ 和 $x^{\frac{3}{2}}$ 。

$\frac{d}{2} (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C)$

解题步骤 8.2

将 $\frac{d}{2} (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C)$ 重写为 $\frac{1}{2} d \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$ 。

$\frac{1}{2} d \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

解题步骤 8.3

化简。

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解题步骤 8.3.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $d$ 。

$\frac{d}{2} \cdot \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

解题步骤 8.3.2

将 $\frac{d}{2}$ 乘以 $\frac{2}{3}$ 。

$\frac{d \cdot 2}{2 \cdot 3} x^{\frac{3}{2}} + C$

解题步骤 8.3.3

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$\frac{d \cdot 2}{6} x^{\frac{3}{2}} + C$

解题步骤 8.3.4

将 $2$ 移到 $d$ 的左侧。

$\frac{2 \cdot d}{6} x^{\frac{3}{2}} + C$

解题步骤 8.3.5

约去 $2$ 和 $6$ 的公因数。

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解题步骤 8.3.5.1

从 $2 d$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (d)}{6} x^{\frac{3}{2}} + C$

解题步骤 8.3.5.2

约去公因数。

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解题步骤 8.3.5.2.1

从 $6$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 d}{2 \cdot 3} x^{\frac{3}{2}} + C$

解题步骤 8.3.5.2.2

约去公因数。

$\frac{2 d}{2 \cdot 3} x^{\frac{3}{2}} + C$

解题步骤 8.3.5.2.3

重写表达式。

$\frac{d}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

解题步骤 8.3.6

组合 $\frac{d}{3}$ 和 $x^{\frac{3}{2}}$ 。

$\frac{d x^{\frac{3}{2}}}{3} + C$

$\frac{1}{3} d x^{\frac{3}{2}} + C$

解题步骤 9

答案是函数 $f (x) = \frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot (d x)$ 的不定积分。

$F (x) =$ $\frac{1}{3} d x^{\frac{3}{2}} + C$

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