微积分学示例

$y = \frac{1}{2 \sqrt{x}}$

解题步骤 1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$y = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 2

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

解题步骤 3

$y$ 对 $x$ 的导数为 $y'$ 。

$y'$

解题步骤 4

对方程右边求微分。

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解题步骤 4.1

因为 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$ 。

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$

解题步骤 4.2

应用指数的基本规则。

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解题步骤 4.2.1

将 $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ 重写为 ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 。

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

解题步骤 4.2.2

将 ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 4.2.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2} \cdot - 1}]$

解题步骤 4.2.2.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $- 1$ 。

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{- 1}{2}}]$

解题步骤 4.2.2.3

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2}}]$

解题步骤 4.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = - \frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} - 1})$

解题步骤 4.4

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

解题步骤 4.5

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

解题步骤 4.6

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}})$

解题步骤 4.7

化简分子。

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解题步骤 4.7.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 1 - 2}{2}})$

解题步骤 4.7.2

从 $- 1$ 中减去 $2$ 。

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 3}{2}})$

解题步骤 4.8

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} x^{- \frac{3}{2}})$

解题步骤 4.9

组合 $x^{- \frac{3}{2}}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{2} (- \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2})$

解题步骤 4.10

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2}$ 。

$- \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 4.11

化简表达式。

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解题步骤 4.11.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$- \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{4}$

解题步骤 4.11.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{3}{2}}$ 移动到分母。

$- \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 5

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$y' = - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 6

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}}$

微积分学 示例

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