微积分学示例

$\sqrt{1 + 4 x^{2}}$

解题步骤 1

将 $\sqrt{1 + 4 x^{2}}$ 书写为一个函数。

$f (x) = \sqrt{1 + 4 x^{2}}$

解题步骤 2

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 3

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int \sqrt{1 + 4 x^{2}} d x$

解题步骤 4

使 $x = \frac{1}{2} \tan (t)$ ，其中 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ 。然后使 $d x = \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$ 。请注意，因为 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ ，所以 $\frac{\sec^{2} (t)}{2}$ 为正数。

$\int \sqrt{1 + 4 {(\frac{1}{2} \tan (t))}^{2}} \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

解题步骤 5

化简项。

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解题步骤 5.1

化简 $\sqrt{1 + 4 {(\frac{1}{2} \tan (t))}^{2}}$ 。

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解题步骤 5.1.1

化简每一项。

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解题步骤 5.1.1.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $\tan (t)$ 。

$\int \sqrt{1 + 4 {(\frac{\tan (t)}{2})}^{2}} \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

解题步骤 5.1.1.2

对 $\frac{\tan (t)}{2}$ 运用乘积法则。

$\int \sqrt{1 + 4 \frac{\tan^{2} (t)}{2^{2}}} \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

解题步骤 5.1.1.3

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\int \sqrt{1 + 4 \frac{\tan^{2} (t)}{4}} \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

解题步骤 5.1.1.4

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 5.1.1.4.1

约去公因数。

$\int \sqrt{1 + 4 \frac{\tan^{2} (t)}{4}} \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

解题步骤 5.1.1.4.2

重写表达式。

$\int \sqrt{1 + \tan^{2} (t)} \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

解题步骤 5.1.2

重新整理项。

$\int \sqrt{\tan^{2} (t) + 1} \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

解题步骤 5.1.3

使用勾股恒等式。

$\int \sqrt{\sec^{2} (t)} \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

解题步骤 5.1.4

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\int \sec (t) \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

解题步骤 5.2

化简。

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解题步骤 5.2.1

组合 $\sec (t)$ 和 $\frac{\sec^{2} (t)}{2}$ 。

$\int \frac{\sec (t) \sec^{2} (t)}{2} d t$

解题步骤 5.2.2

通过指数相加将 $\sec (t)$ 乘以 $\sec^{2} (t)$ 。

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解题步骤 5.2.2.1

将 $\sec (t)$ 乘以 $\sec^{2} (t)$ 。

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解题步骤 5.2.2.1.1

对 $\sec (t)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int \frac{\sec^{1} (t) \sec^{2} (t)}{2} d t$

解题步骤 5.2.2.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int \frac{{\sec (t)}^{1 + 2}}{2} d t$

解题步骤 5.2.2.2

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\int \frac{\sec^{3} (t)}{2} d t$

解题步骤 6

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $t$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} \int \sec^{3} (t) d t$

解题步骤 7

从 $\sec^{3} (t)$ 中分解出因数 $\sec (t)$ 。

$\frac{1}{2} \int \sec (t) \sec^{2} (t) d t$

解题步骤 8

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = \sec (t)$ ， $d v = \sec^{2} (t)$ 。

$\frac{1}{2} (\sec (t) \tan (t) - \int \tan (t) (\sec (t) \tan (t)) d t)$

解题步骤 9

对 $\tan (t)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1}{2} (\sec (t) \tan (t) - \int \tan^{1} (t) \tan (t) \sec (t) d t)$

解题步骤 10

对 $\tan (t)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1}{2} (\sec (t) \tan (t) - \int \tan^{1} (t) \tan^{1} (t) \sec (t) d t)$

解题步骤 11

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{1}{2} (\sec (t) \tan (t) - \int {\tan (t)}^{1 + 1} \sec (t) d t)$

解题步骤 12

化简表达式。

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解题步骤 12.1

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{1}{2} (\sec (t) \tan (t) - \int \tan^{2} (t) \sec (t) d t)$

解题步骤 12.2

将 $\tan^{2} (t)$ 和 $\sec (t)$ 重新排序。

$\frac{1}{2} (\sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) \tan^{2} (t) d t)$

解题步骤 13

使用勾股定理，将 $\tan^{2} (t)$ 重写成 $- 1 + \sec^{2} (t)$ 的形式。

$\frac{1}{2} (\sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) (- 1 + \sec^{2} (t)) d t)$

解题步骤 14

通过相乘进行化简。

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解题步骤 14.1

将幂重写为乘积形式。

$\frac{1}{2} (\sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) (- 1 + \sec (t) \sec (t)) d t)$

解题步骤 14.2

运用分配律。

$\frac{1}{2} (\sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) \cdot - 1 + \sec (t) (\sec (t) \sec (t)) d t)$

解题步骤 14.3

将 $\sec (t)$ 和 $- 1$ 重新排序。

$\frac{1}{2} (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \cdot \sec (t) + \sec (t) (\sec (t) \sec (t)) d t)$

解题步骤 15

对 $\sec (t)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1}{2} (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{1} (t) \sec (t) \sec (t) d t)$

解题步骤 16

对 $\sec (t)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1}{2} (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{1} (t) \sec^{1} (t) \sec (t) d t)$

解题步骤 17

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{1}{2} (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + {\sec (t)}^{1 + 1} \sec (t) d t)$

解题步骤 18

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{1}{2} (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{2} (t) \sec (t) d t)$

解题步骤 19

对 $\sec (t)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1}{2} (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{2} (t) \sec^{1} (t) d t)$

解题步骤 20

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{1}{2} (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + {\sec (t)}^{2 + 1} d t)$

解题步骤 21

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$\frac{1}{2} (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{3} (t) d t)$

解题步骤 22

将单个积分拆分为多个积分。

$\frac{1}{2} (\sec (t) \tan (t) - (\int - 1 \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t))$

解题步骤 23

由于 $- 1$ 对于 $t$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} (\sec (t) \tan (t) - (- \int \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t))$

解题步骤 24

$\sec (t)$ 对 $t$ 的积分为 $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ 。

$\frac{1}{2} (\sec (t) \tan (t) - (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \int \sec^{3} (t) d t))$

解题步骤 25

通过相乘进行化简。

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解题步骤 25.1

运用分配律。

$\frac{1}{2} (\sec (t) \tan (t) - - (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) - \int \sec^{3} (t) d t)$

解题步骤 25.2

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{1}{2} (\sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) - \int \sec^{3} (t) d t)$

解题步骤 26

求解 $\int \sec^{3} (t) d t$ ，我们发现 $\int \sec^{3} (t) d t$ = $\frac{\sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C)}{2}$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{\sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C)}{2} + C)$

解题步骤 27

将 $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C}{2} + C)$

解题步骤 28

化简。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)) + C$

解题步骤 29

化简。

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解题步骤 29.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{2 \cdot 2} (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)) + C$

解题步骤 29.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{4} (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)) + C$

解题步骤 30

使用 $\arctan (2 x)$ 替换所有出现的 $t$ 。

$\frac{1}{4} (\sec (\arctan (2 x)) \tan (\arctan (2 x)) + \ln (| \sec (\arctan (2 x)) + \tan (\arctan (2 x)) |)) + C$

解题步骤 31

化简。

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解题步骤 31.1

化简每一项。

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解题步骤 31.1.1

在平面中画出顶点为 $(1, 2 x)$ 、 $(1, 0)$ 和原点的三角形。则 $\arctan (2 x)$ 是在 x 轴的正轴与从原点开始并穿过 $(1, 2 x)$ 的射线之间形成的一个角。因此， $\sec (\arctan (2 x))$ 为 $\sqrt{1 + {(2 x)}^{2}}$ 。

$\frac{1}{4} (\sqrt{1 + {(2 x)}^{2}} \tan (\arctan (2 x)) + \ln (| \sec (\arctan (2 x)) + \tan (\arctan (2 x)) |)) + C$

解题步骤 31.1.2

对 $2 x$ 运用乘积法则。

$\frac{1}{4} (\sqrt{1 + 2^{2} x^{2}} \tan (\arctan (2 x)) + \ln (| \sec (\arctan (2 x)) + \tan (\arctan (2 x)) |)) + C$

解题步骤 31.1.3

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{1}{4} (\sqrt{1 + 4 x^{2}} \tan (\arctan (2 x)) + \ln (| \sec (\arctan (2 x)) + \tan (\arctan (2 x)) |)) + C$

解题步骤 31.1.4

正切和余切互为反函数。

$\frac{1}{4} (\sqrt{1 + 4 x^{2}} (2 x) + \ln (| \sec (\arctan (2 x)) + \tan (\arctan (2 x)) |)) + C$

解题步骤 31.1.5

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{1}{4} (2 \sqrt{1 + 4 x^{2}} x + \ln (| \sec (\arctan (2 x)) + \tan (\arctan (2 x)) |)) + C$

解题步骤 31.1.6

化简每一项。

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解题步骤 31.1.6.1

$\frac{1}{4} (2 \sqrt{1 + 4 x^{2}} x + \ln (| \sqrt{1 + {(2 x)}^{2}} + \tan (\arctan (2 x)) |)) + C$

解题步骤 31.1.6.2

对 $2 x$ 运用乘积法则。

$\frac{1}{4} (2 \sqrt{1 + 4 x^{2}} x + \ln (| \sqrt{1 + 2^{2} x^{2}} + \tan (\arctan (2 x)) |)) + C$

解题步骤 31.1.6.3

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{1}{4} (2 \sqrt{1 + 4 x^{2}} x + \ln (| \sqrt{1 + 4 x^{2}} + \tan (\arctan (2 x)) |)) + C$

解题步骤 31.1.6.4

正切和余切互为反函数。

$\frac{1}{4} (2 \sqrt{1 + 4 x^{2}} x + \ln (| \sqrt{1 + 4 x^{2}} + 2 x |)) + C$

解题步骤 31.2

运用分配律。

$\frac{1}{4} (2 \sqrt{1 + 4 x^{2}} x) + \frac{1}{4} \ln (| \sqrt{1 + 4 x^{2}} + 2 x |) + C$

解题步骤 31.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 31.3.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{1}{2 (2)} (2 \sqrt{1 + 4 x^{2}} x) + \frac{1}{4} \ln (| \sqrt{1 + 4 x^{2}} + 2 x |) + C$

解题步骤 31.3.2

从 $2 \sqrt{1 + 4 x^{2}} x$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{1}{2 (2)} (2 (\sqrt{1 + 4 x^{2}} x)) + \frac{1}{4} \ln (| \sqrt{1 + 4 x^{2}} + 2 x |) + C$

解题步骤 31.3.3

约去公因数。

$\frac{1}{2 \cdot 2} (2 (\sqrt{1 + 4 x^{2}} x)) + \frac{1}{4} \ln (| \sqrt{1 + 4 x^{2}} + 2 x |) + C$

解题步骤 31.3.4

重写表达式。

$\frac{1}{2} (\sqrt{1 + 4 x^{2}} x) + \frac{1}{4} \ln (| \sqrt{1 + 4 x^{2}} + 2 x |) + C$

解题步骤 31.4

组合 $\sqrt{1 + 4 x^{2}}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{\sqrt{1 + 4 x^{2}}}{2} x + \frac{1}{4} \ln (| \sqrt{1 + 4 x^{2}} + 2 x |) + C$

解题步骤 31.5

组合 $\frac{\sqrt{1 + 4 x^{2}}}{2}$ 和 $x$ 。

$\frac{\sqrt{1 + 4 x^{2}} x}{2} + \frac{1}{4} \ln (| \sqrt{1 + 4 x^{2}} + 2 x |) + C$

解题步骤 31.6

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $\ln (| \sqrt{1 + 4 x^{2}} + 2 x |)$ 。

$\frac{\sqrt{1 + 4 x^{2}} x}{2} + \frac{\ln (| \sqrt{1 + 4 x^{2}} + 2 x |)}{4} + C$

解题步骤 31.7

要将 $\frac{\sqrt{1 + 4 x^{2}} x}{2}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{\sqrt{1 + 4 x^{2}} x}{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{\ln (| \sqrt{1 + 4 x^{2}} + 2 x |)}{4} + C$

解题步骤 31.8

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $4$ 的形式。

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解题步骤 31.8.1

将 $\frac{\sqrt{1 + 4 x^{2}} x}{2}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{\sqrt{1 + 4 x^{2}} x \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{\ln (| \sqrt{1 + 4 x^{2}} + 2 x |)}{4} + C$

解题步骤 31.8.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{\sqrt{1 + 4 x^{2}} x \cdot 2}{4} + \frac{\ln (| \sqrt{1 + 4 x^{2}} + 2 x |)}{4} + C$

解题步骤 31.9

在公分母上合并分子。

$\frac{\sqrt{1 + 4 x^{2}} x \cdot 2 + \ln (| \sqrt{1 + 4 x^{2}} + 2 x |)}{4} + C$

解题步骤 31.10

将 $2$ 移到 $\sqrt{1 + 4 x^{2}} x$ 的左侧。

$\frac{2 \sqrt{1 + 4 x^{2}} x + \ln (| \sqrt{1 + 4 x^{2}} + 2 x |)}{4} + C$

解题步骤 32

重新排序项。

$\frac{1}{4} (2 \sqrt{1 + 4 x^{2}} x + \ln (| \sqrt{1 + 4 x^{2}} + 2 x |)) + C$

解题步骤 33

答案是函数 $f (x) = \sqrt{1 + 4 x^{2}}$ 的不定积分。

$F (x) =$ $\frac{1}{4} (2 \sqrt{1 + 4 x^{2}} x + \ln (| \sqrt{1 + 4 x^{2}} + 2 x |)) + C$

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