微积分学示例

$y = - 1 + 3 \cos (\frac{3}{2} x)$

解题步骤 1

求函数的一阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1

求微分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.1

根据加法法则， $- 1 + 3 \cos (\frac{3}{2} x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [3 \cos (\frac{3}{2} x)]$ 。

$\frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [3 \cos (\frac{3}{2} x)]$

解题步骤 1.1.2

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d x} [3 \cos (\frac{3}{2} x)]$

解题步骤 1.2

计算 $\frac{d}{d x} [3 \cos (\frac{3}{2} x)]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.1

组合 $\frac{3}{2}$ 和 $x$ 。

$0 + \frac{d}{d x} [3 \cos (\frac{3 x}{2})]$

解题步骤 1.2.2

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 \cos (\frac{3 x}{2})$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [\cos (\frac{3 x}{2})]$ 。

$0 + 3 \frac{d}{d x} [\cos (\frac{3 x}{2})]$

解题步骤 1.2.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \cos (x)$ 且 $g (x) = \frac{3 x}{2}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\frac{3 x}{2}$ 。

$0 + 3 (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [\frac{3 x}{2}])$

解题步骤 1.2.3.2

$\cos (u)$ 对 $u$ 的导数为 $- \sin (u)$ 。

$0 + 3 (- \sin (u) \frac{d}{d x} [\frac{3 x}{2}])$

解题步骤 1.2.3.3

使用 $\frac{3 x}{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$0 + 3 (- \sin (\frac{3 x}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{3 x}{2}])$

解题步骤 1.2.4

因为 $\frac{3}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{3 x}{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x]$ 。

$0 + 3 (- \sin (\frac{3 x}{2}) (\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x]))$

解题步骤 1.2.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$0 + 3 (- \sin (\frac{3 x}{2}) (\frac{3}{2} \cdot 1))$

解题步骤 1.2.6

将 $\frac{3}{2}$ 乘以 $1$ 。

$0 + 3 (- \sin (\frac{3 x}{2}) \frac{3}{2})$

解题步骤 1.2.7

组合 $\frac{3}{2}$ 和 $\sin (\frac{3 x}{2})$ 。

$0 + 3 (- \frac{3 \sin (\frac{3 x}{2})}{2})$

解题步骤 1.2.8

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$0 - 3 \frac{3 \sin (\frac{3 x}{2})}{2}$

解题步骤 1.2.9

组合 $- 3$ 和 $\frac{3 \sin (\frac{3 x}{2})}{2}$ 。

$0 + \frac{- 3 (3 \sin (\frac{3 x}{2}))}{2}$

解题步骤 1.2.10

将 $3$ 乘以 $- 3$ 。

$0 + \frac{- 9 \sin (\frac{3 x}{2})}{2}$

解题步骤 1.2.11

将负号移到分数的前面。

$0 - \frac{9 \sin (\frac{3 x}{2})}{2}$

解题步骤 1.3

从 $0$ 中减去 $\frac{9 \sin (\frac{3 x}{2})}{2}$ 。

$- \frac{9 \sin (\frac{3 x}{2})}{2}$

解题步骤 2

求函数的二阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

因为 $- \frac{9}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \frac{9 \sin (\frac{3 x}{2})}{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{9}{2} \frac{d}{d x} [\sin (\frac{3 x}{2})]$ 。

$f'' (x) = - \frac{9}{2} \cdot \frac{d}{d x} \sin (\frac{3 x}{2})$

解题步骤 2.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \sin (x)$ 且 $g (x) = \frac{3 x}{2}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\frac{3 x}{2}$ 。

$f'' (x) = - \frac{9}{2} \cdot (\frac{d}{d u} (\sin (u)) \frac{d}{d x} (\frac{3 x}{2}))$

解题步骤 2.2.2

$\sin (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\cos (u)$ 。

$f'' (x) = - \frac{9}{2} \cdot (\cos (u) \frac{d}{d x} (\frac{3 x}{2}))$

解题步骤 2.2.3

使用 $\frac{3 x}{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f'' (x) = - \frac{9}{2} \cdot (\cos (\frac{3 x}{2}) \frac{d}{d x} (\frac{3 x}{2}))$

解题步骤 2.3

求微分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.1

组合 $\cos (\frac{3 x}{2})$ 和 $\frac{9}{2}$ 。

$f'' (x) = - \frac{\cos (\frac{3 x}{2}) \cdot 9}{2} \cdot \frac{d}{d x} \frac{3 x}{2}$

解题步骤 2.3.2

将 $9$ 移到 $\cos (\frac{3 x}{2})$ 的左侧。

$f'' (x) = - \frac{9 \cdot \cos (\frac{3 x}{2})}{2} \cdot \frac{d}{d x} \frac{3 x}{2}$

解题步骤 2.3.3

因为 $\frac{3}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{3 x}{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f'' (x) = - \frac{9 \cos (\frac{3 x}{2})}{2} \cdot (\frac{3}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x))$

解题步骤 2.3.4

合并分数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.4.1

将 $\frac{3}{2}$ 乘以 $\frac{9 \cos (\frac{3 x}{2})}{2}$ 。

$f'' (x) = - \frac{3 (9 \cos (\frac{3 x}{2}))}{2 \cdot 2} \cdot \frac{d}{d x} x$

解题步骤 2.3.4.2

乘。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.4.2.1

将 $9$ 乘以 $3$ 。

$f'' (x) = - \frac{27 \cos (\frac{3 x}{2})}{2 \cdot 2} \cdot \frac{d}{d x} x$

解题步骤 2.3.4.2.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$f'' (x) = - \frac{27 \cos (\frac{3 x}{2})}{4} \cdot \frac{d}{d x} x$

解题步骤 2.3.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = - \frac{27 \cos (\frac{3 x}{2})}{4} \cdot 1$

解题步骤 2.3.6

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = - \frac{27 \cos (\frac{3 x}{2})}{4}$

解题步骤 3

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$- \frac{9 \sin (\frac{3 x}{2})}{2} = 0$

解题步骤 4

将分子设为等于零。

$9 \sin (\frac{3 x}{2}) = 0$

解题步骤 5

求解 $x$ 的方程。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1

将 $9 \sin (\frac{3 x}{2}) = 0$ 中的每一项除以 $9$ 并化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1.1

将 $9 \sin (\frac{3 x}{2}) = 0$ 中的每一项都除以 $9$ 。

$\frac{9 \sin (\frac{3 x}{2})}{9} = \frac{0}{9}$

解题步骤 5.1.2

化简左边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1.2.1

约去 $9$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1.2.1.1

约去公因数。

$\frac{9 \sin (\frac{3 x}{2})}{9} = \frac{0}{9}$

解题步骤 5.1.2.1.2

用 $\sin (\frac{3 x}{2})$ 除以 $1$ 。

$\sin (\frac{3 x}{2}) = \frac{0}{9}$

解题步骤 5.1.3

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1.3.1

用 $0$ 除以 $9$ 。

$\sin (\frac{3 x}{2}) = 0$

解题步骤 5.2

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $x$ 。

$\frac{3 x}{2} = \arcsin (0)$

解题步骤 5.3

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.3.1

$\arcsin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{3 x}{2} = 0$

解题步骤 5.4

将分子设为等于零。

$3 x = 0$

解题步骤 5.5

将 $3 x = 0$ 中的每一项除以 $3$ 并化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.5.1

将 $3 x = 0$ 中的每一项都除以 $3$ 。

$\frac{3 x}{3} = \frac{0}{3}$

解题步骤 5.5.2

化简左边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.5.2.1

约去 $3$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.5.2.1.1

约去公因数。

$\frac{3 x}{3} = \frac{0}{3}$

解题步骤 5.5.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{0}{3}$

解题步骤 5.5.3

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.5.3.1

用 $0$ 除以 $3$ 。

$x = 0$

解题步骤 5.6

正弦函数在第一和第二象限中为正值。若要求第二个解，可从 $π$ 减去参考角以求第二象限中的解。

$\frac{3 x}{2} = π - 0$

解题步骤 5.7

求解 $x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.7.1

等式两边同时乘以 $\frac{2}{3}$ 。

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3 x}{2} = \frac{2}{3} (π - 0)$

解题步骤 5.7.2

化简方程的两边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.7.2.1

化简左边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.7.2.1.1

化简 $\frac{2}{3} \cdot \frac{3 x}{2}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.7.2.1.1.1

约去 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.7.2.1.1.1.1

约去公因数。

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3 x}{2} = \frac{2}{3} (π - 0)$

解题步骤 5.7.2.1.1.1.2

重写表达式。

$\frac{1}{3} (3 x) = \frac{2}{3} (π - 0)$

解题步骤 5.7.2.1.1.2

约去 $3$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.7.2.1.1.2.1

从 $3 x$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{1}{3} (3 (x)) = \frac{2}{3} (π - 0)$

解题步骤 5.7.2.1.1.2.2

约去公因数。

$\frac{1}{3} (3 x) = \frac{2}{3} (π - 0)$

解题步骤 5.7.2.1.1.2.3

重写表达式。

$x = \frac{2}{3} (π - 0)$

解题步骤 5.7.2.2

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.7.2.2.1

化简 $\frac{2}{3} (π - 0)$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.7.2.2.1.1

从 $π$ 中减去 $0$ 。

$x = \frac{2}{3} π$

解题步骤 5.7.2.2.1.2

组合 $\frac{2}{3}$ 和 $π$ 。

$x = \frac{2 π}{3}$

解题步骤 5.8

方程 $\frac{3 x}{2} = 0$ 的解。

$x = 0, \frac{2 π}{3}$

解题步骤 6

计算在 $x = 0$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$- \frac{27 \cos (\frac{3 (0)}{2})}{4}$

解题步骤 7

计算二阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.1

约去 $0$ 和 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.1.1

从 $3 (0)$ 中分解出因数 $2$ 。

$- \frac{27 \cos (\frac{2 (3 \cdot (0))}{2})}{4}$

解题步骤 7.1.2

约去公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.1.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$- \frac{27 \cos (\frac{2 (3 \cdot (0))}{2 (1)})}{4}$

解题步骤 7.1.2.2

约去公因数。

$- \frac{27 \cos (\frac{2 (3 \cdot (0))}{2 \cdot 1})}{4}$

解题步骤 7.1.2.3

重写表达式。

$- \frac{27 \cos (\frac{3 \cdot (0)}{1})}{4}$

解题步骤 7.1.2.4

用 $3 \cdot (0)$ 除以 $1$ 。

$- \frac{27 \cos (3 \cdot (0))}{4}$

解题步骤 7.2

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.2.1

将 $3$ 乘以 $0$ 。

$- \frac{27 \cos (0)}{4}$

解题步骤 7.2.2

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$- \frac{27 \cdot 1}{4}$

解题步骤 7.3

将 $27$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{27}{4}$

解题步骤 8

因为二阶导数的值为负数，所以 $x = 0$ 是一个极大值。这被称为二阶导数试验法。

$x = 0$ 是一个极大值

解题步骤 9

求 $x = 0$ 时的 y 值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.1

使用表达式中的 $0$ 替换变量 $x$ 。

$f (0) = - 1 + 3 \cos (\frac{3}{2} \cdot (0))$

解题步骤 9.2

化简结果。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.2.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.2.1.1

将 $\frac{3}{2}$ 乘以 $0$ 。

$f (0) = - 1 + 3 \cos (0)$

解题步骤 9.2.1.2

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$f (0) = - 1 + 3 \cdot 1$

解题步骤 9.2.1.3

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$f (0) = - 1 + 3$

解题步骤 9.2.2

将 $- 1$ 和 $3$ 相加。

$f (0) = 2$

解题步骤 9.2.3

最终答案为 $2$ 。

$y = 2$

解题步骤 10

计算在 $x = \frac{2 π}{3}$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$- \frac{27 \cos (\frac{3 (\frac{2 π}{3})}{2})}{4}$

解题步骤 11

计算二阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 11.1

组合 $3$ 和 $\frac{2 π}{3}$ 。

$- \frac{27 \cos (\frac{\frac{3 (2 π)}{3}}{2})}{4}$

解题步骤 11.2

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$- \frac{27 \cos (\frac{\frac{6 π}{3}}{2})}{4}$

解题步骤 11.3

通过约去公因数来化简表达式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 11.3.1

通过约去公因数来化简表达式 $\frac{6 π}{3}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 11.3.1.1

从 $6 π$ 中分解出因数 $3$ 。

$- \frac{27 \cos (\frac{\frac{3 (2 π)}{3}}{2})}{4}$

解题步骤 11.3.1.2

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$- \frac{27 \cos (\frac{\frac{3 (2 π)}{3 (1)}}{2})}{4}$

解题步骤 11.3.1.3

约去公因数。

$- \frac{27 \cos (\frac{\frac{3 (2 π)}{3 \cdot 1}}{2})}{4}$

解题步骤 11.3.1.4

重写表达式。

$- \frac{27 \cos (\frac{\frac{2 π}{1}}{2})}{4}$

解题步骤 11.3.2

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$- \frac{27 \cos (\frac{2 π}{2})}{4}$

解题步骤 11.4

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 11.4.1

约去 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 11.4.1.1

约去公因数。

$- \frac{27 \cos (\frac{2 π}{2})}{4}$

解题步骤 11.4.1.2

用 $π$ 除以 $1$ 。

$- \frac{27 \cos (π)}{4}$

解题步骤 11.4.2

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为余弦在第二象限为负。

$- \frac{27 (- \cos (0))}{4}$

解题步骤 11.4.3

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$- \frac{27 (- 1 \cdot 1)}{4}$

解题步骤 11.4.4

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{27 \cdot - 1}{4}$

解题步骤 11.5

化简表达式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 11.5.1

将 $27$ 乘以 $- 1$ 。

$- \frac{- 27}{4}$

解题步骤 11.5.2

将负号移到分数的前面。

$- - \frac{27}{4}$

解题步骤 11.6

乘以 $- - \frac{27}{4}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 11.6.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$1 (\frac{27}{4})$

解题步骤 11.6.2

将 $\frac{27}{4}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{27}{4}$

解题步骤 12

因为二阶导数的值为正数，所以 $x = \frac{2 π}{3}$ 是一个极小值。这被称为二阶导数试验法。

$x = \frac{2 π}{3}$ 是一个极小值

解题步骤 13

求 $x = \frac{2 π}{3}$ 时的 y 值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 13.1

使用表达式中的 $\frac{2 π}{3}$ 替换变量 $x$ 。

$f (\frac{2 π}{3}) = - 1 + 3 \cos (\frac{3}{2} \cdot (\frac{2 π}{3}))$

解题步骤 13.2

化简结果。

点击获取更多步骤...

解题步骤 13.2.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 13.2.1.1

约去 $3$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 13.2.1.1.1

约去公因数。

$f (\frac{2 π}{3}) = - 1 + 3 \cos (\frac{3}{2} \cdot \frac{2 π}{3})$

解题步骤 13.2.1.1.2

重写表达式。

$f (\frac{2 π}{3}) = - 1 + 3 \cos (\frac{1}{2} \cdot (2 π))$

解题步骤 13.2.1.2

约去 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 13.2.1.2.1

从 $2 π$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (\frac{2 π}{3}) = - 1 + 3 \cos (\frac{1}{2} \cdot (2 (π)))$

解题步骤 13.2.1.2.2

约去公因数。

$f (\frac{2 π}{3}) = - 1 + 3 \cos (\frac{1}{2} \cdot (2 π))$

解题步骤 13.2.1.2.3

重写表达式。

$f (\frac{2 π}{3}) = - 1 + 3 \cos (π)$

解题步骤 13.2.1.3

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为余弦在第二象限为负。

$f (\frac{2 π}{3}) = - 1 + 3 (- \cos (0))$

解题步骤 13.2.1.4

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$f (\frac{2 π}{3}) = - 1 + 3 (- 1 \cdot 1)$

解题步骤 13.2.1.5

乘以 $3 (- 1 \cdot 1)$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 13.2.1.5.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$f (\frac{2 π}{3}) = - 1 + 3 \cdot - 1$

解题步骤 13.2.1.5.2

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$f (\frac{2 π}{3}) = - 1 - 3$

解题步骤 13.2.2

从 $- 1$ 中减去 $3$ 。

$f (\frac{2 π}{3}) = - 4$

解题步骤 13.2.3

最终答案为 $- 4$ 。

$y = - 4$

解题步骤 14

这些是 $f (x) = - 1 + 3 \cos (\frac{3}{2} x)$ 的局部极值。

$(0, 2)$ 是一个局部最大值

$(\frac{2 π}{3}, - 4)$ 是一个局部最小值

解题步骤 15

微积分学 示例

微积分学示例