微积分学示例

$lim_{x \to 49} \frac{x (\sqrt{x} - 7)}{x - 49}$

解题步骤 1

运用洛必达法则。

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解题步骤 1.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 1.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{x \to 49} x (\sqrt{x} - 7)}{lim_{x \to 49} x - 49}$

解题步骤 1.1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 1.1.2.1

当 $x$ 趋于 $49$ 时，利用极限的乘积法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to 49} x \cdot lim_{x \to 49} \sqrt{x} - 7}{lim_{x \to 49} x - 49}$

解题步骤 1.1.2.2

当 $x$ 趋于 $49$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to 49} x \cdot (lim_{x \to 49} \sqrt{x} - lim_{x \to 49} 7)}{lim_{x \to 49} x - 49}$

解题步骤 1.1.2.3

将极限移入根号内。

$\frac{lim_{x \to 49} x \cdot (\sqrt{lim_{x \to 49} x} - lim_{x \to 49} 7)}{lim_{x \to 49} x - 49}$

解题步骤 1.1.2.4

计算 $7$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $49$ 时此极限值为常数。

$\frac{lim_{x \to 49} x \cdot (\sqrt{lim_{x \to 49} x} - 1 \cdot 7)}{lim_{x \to 49} x - 49}$

解题步骤 1.1.2.5

将 $49$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 1.1.2.5.1

将 $49$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{49 \cdot (\sqrt{lim_{x \to 49} x} - 1 \cdot 7)}{lim_{x \to 49} x - 49}$

解题步骤 1.1.2.5.2

将 $49$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{49 \cdot (\sqrt{49} - 1 \cdot 7)}{lim_{x \to 49} x - 49}$

解题步骤 1.1.2.6

化简答案。

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解题步骤 1.1.2.6.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.2.6.1.1

将 $49$ 重写为 $7^{2}$ 。

$\frac{49 \cdot (\sqrt{7^{2}} - 1 \cdot 7)}{lim_{x \to 49} x - 49}$

解题步骤 1.1.2.6.1.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\frac{49 \cdot (7 - 1 \cdot 7)}{lim_{x \to 49} x - 49}$

解题步骤 1.1.2.6.1.3

将 $- 1$ 乘以 $7$ 。

$\frac{49 \cdot (7 - 7)}{lim_{x \to 49} x - 49}$

解题步骤 1.1.2.6.2

从 $7$ 中减去 $7$ 。

$\frac{49 \cdot 0}{lim_{x \to 49} x - 49}$

解题步骤 1.1.2.6.3

将 $49$ 乘以 $0$ 。

$\frac{0}{lim_{x \to 49} x - 49}$

解题步骤 1.1.3

计算分母的极限值。

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解题步骤 1.1.3.1

计算极限值。

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解题步骤 1.1.3.1.1

当 $x$ 趋于 $49$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{0}{lim_{x \to 49} x - lim_{x \to 49} 49}$

解题步骤 1.1.3.1.2

计算 $49$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $49$ 时此极限值为常数。

$\frac{0}{lim_{x \to 49} x - 1 \cdot 49}$

解题步骤 1.1.3.2

将 $49$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{49 - 1 \cdot 49}$

解题步骤 1.1.3.3

化简答案。

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解题步骤 1.1.3.3.1

将 $- 1$ 乘以 $49$ 。

$\frac{0}{49 - 49}$

解题步骤 1.1.3.3.2

从 $49$ 中减去 $49$ 。

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.3.3.3

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.3.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to 49} \frac{x (\sqrt{x} - 7)}{x - 49} = lim_{x \to 49} \frac{\frac{d}{d x} [x (\sqrt{x} - 7)]}{\frac{d}{d x} [x - 49]}$

解题步骤 1.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 1.3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{x \to 49} \frac{\frac{d}{d x} [x (\sqrt{x} - 7)]}{\frac{d}{d x} [x - 49]}$

解题步骤 1.3.2

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$lim_{x \to 49} \frac{\frac{d}{d x} [x (x^{\frac{1}{2}} - 7)]}{\frac{d}{d x} [x - 49]}$

解题步骤 1.3.3

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = x^{\frac{1}{2}} - 7$ 。

$lim_{x \to 49} \frac{x \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} - 7] + (x^{\frac{1}{2}} - 7) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x - 49]}$

解题步骤 1.3.4

根据加法法则， $x^{\frac{1}{2}} - 7$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 7]$ 。

$lim_{x \to 49} \frac{x (\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 7]) + (x^{\frac{1}{2}} - 7) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x - 49]}$

解题步骤 1.3.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$lim_{x \to 49} \frac{x (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [- 7]) + (x^{\frac{1}{2}} - 7) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x - 49]}$

解题步骤 1.3.6

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$lim_{x \to 49} \frac{x (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 7]) + (x^{\frac{1}{2}} - 7) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x - 49]}$

解题步骤 1.3.7

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$lim_{x \to 49} \frac{x (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 7]) + (x^{\frac{1}{2}} - 7) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x - 49]}$

解题步骤 1.3.8

在公分母上合并分子。

$lim_{x \to 49} \frac{x (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 7]) + (x^{\frac{1}{2}} - 7) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x - 49]}$

解题步骤 1.3.9

化简分子。

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解题步骤 1.3.9.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$lim_{x \to 49} \frac{x (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 7]) + (x^{\frac{1}{2}} - 7) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x - 49]}$

解题步骤 1.3.9.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$lim_{x \to 49} \frac{x (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d x} [- 7]) + (x^{\frac{1}{2}} - 7) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x - 49]}$

解题步骤 1.3.10

将负号移到分数的前面。

$lim_{x \to 49} \frac{x (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- 7]) + (x^{\frac{1}{2}} - 7) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x - 49]}$

解题步骤 1.3.11

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

$lim_{x \to 49} \frac{x (\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 7]) + (x^{\frac{1}{2}} - 7) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x - 49]}$

解题步骤 1.3.12

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$lim_{x \to 49} \frac{x (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 7]) + (x^{\frac{1}{2}} - 7) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x - 49]}$

解题步骤 1.3.13

因为 $- 7$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 7$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to 49} \frac{x (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 0) + (x^{\frac{1}{2}} - 7) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x - 49]}$

解题步骤 1.3.14

将 $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ 和 $0$ 相加。

$lim_{x \to 49} \frac{x \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + (x^{\frac{1}{2}} - 7) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x - 49]}$

解题步骤 1.3.15

组合 $x$ 和 $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ 。

$lim_{x \to 49} \frac{\frac{x}{2 x^{\frac{1}{2}}} + (x^{\frac{1}{2}} - 7) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x - 49]}$

解题步骤 1.3.16

使用负指数规则 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ 将 $x^{\frac{1}{2}}$ 移动到分子。

$lim_{x \to 49} \frac{\frac{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}}{2} + (x^{\frac{1}{2}} - 7) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x - 49]}$

解题步骤 1.3.17

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 1.3.17.1

将 $x$ 乘以 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 1.3.17.1.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$lim_{x \to 49} \frac{\frac{x^{1} x^{- \frac{1}{2}}}{2} + (x^{\frac{1}{2}} - 7) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x - 49]}$

解题步骤 1.3.17.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$lim_{x \to 49} \frac{\frac{x^{1 - \frac{1}{2}}}{2} + (x^{\frac{1}{2}} - 7) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x - 49]}$

解题步骤 1.3.17.2

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$lim_{x \to 49} \frac{\frac{x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}{2} + (x^{\frac{1}{2}} - 7) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x - 49]}$

解题步骤 1.3.17.3

在公分母上合并分子。

$lim_{x \to 49} \frac{\frac{x^{\frac{2 - 1}{2}}}{2} + (x^{\frac{1}{2}} - 7) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x - 49]}$

解题步骤 1.3.17.4

从 $2$ 中减去 $1$ 。

$lim_{x \to 49} \frac{\frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + (x^{\frac{1}{2}} - 7) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x - 49]}$

解题步骤 1.3.18

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to 49} \frac{\frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + (x^{\frac{1}{2}} - 7) \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x - 49]}$

解题步骤 1.3.19

将 $x^{\frac{1}{2}} - 7$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to 49} \frac{\frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + x^{\frac{1}{2}} - 7}{\frac{d}{d x} [x - 49]}$

解题步骤 1.3.20

要将 $x^{\frac{1}{2}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$lim_{x \to 49} \frac{\frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + x^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2}{2} - 7}{\frac{d}{d x} [x - 49]}$

解题步骤 1.3.21

组合 $x^{\frac{1}{2}}$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$lim_{x \to 49} \frac{\frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2} - 7}{\frac{d}{d x} [x - 49]}$

解题步骤 1.3.22

在公分母上合并分子。

$lim_{x \to 49} \frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2} - 7}{\frac{d}{d x} [x - 49]}$

解题步骤 1.3.23

将 $2$ 移到 $x^{\frac{1}{2}}$ 的左侧。

$lim_{x \to 49} \frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} + 2 \cdot x^{\frac{1}{2}}}{2} - 7}{\frac{d}{d x} [x - 49]}$

解题步骤 1.3.24

将 $x^{\frac{1}{2}}$ 和 $2 x^{\frac{1}{2}}$ 相加。

$lim_{x \to 49} \frac{\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - 7}{\frac{d}{d x} [x - 49]}$

解题步骤 1.3.25

根据加法法则， $x - 49$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 49]$ 。

$lim_{x \to 49} \frac{\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - 7}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 49]}$

解题步骤 1.3.26

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to 49} \frac{\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - 7}{1 + \frac{d}{d x} [- 49]}$

解题步骤 1.3.27

因为 $- 49$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 49$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to 49} \frac{\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - 7}{1 + 0}$

解题步骤 1.3.28

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$lim_{x \to 49} \frac{\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - 7}{1}$

解题步骤 1.4

将 $x^{\frac{1}{2}}$ 重写为 $\sqrt{x}$ 。

$lim_{x \to 49} \frac{\frac{3 \sqrt{x}}{2} - 7}{1}$

解题步骤 1.5

合并项。

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解题步骤 1.5.1

要将 $- 7$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$lim_{x \to 49} \frac{\frac{3 \sqrt{x}}{2} - 7 \cdot \frac{2}{2}}{1}$

解题步骤 1.5.2

组合 $- 7$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$lim_{x \to 49} \frac{\frac{3 \sqrt{x}}{2} + \frac{- 7 \cdot 2}{2}}{1}$

解题步骤 1.5.3

在公分母上合并分子。

$lim_{x \to 49} \frac{\frac{3 \sqrt{x} - 7 \cdot 2}{2}}{1}$

解题步骤 1.6

用 $\frac{3 \sqrt{x} - 7 \cdot 2}{2}$ 除以 $1$ 。

$lim_{x \to 49} \frac{3 \sqrt{x} - 7 \cdot 2}{2}$

解题步骤 2

计算极限值。

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解题步骤 2.1

因为项 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 49} 3 \sqrt{x} - 7 \cdot 2$

解题步骤 2.2

当 $x$ 趋于 $49$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{1}{2} (lim_{x \to 49} 3 \sqrt{x} - lim_{x \to 49} 7 \cdot 2)$

解题步骤 2.3

因为项 $3$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{1}{2} (3 lim_{x \to 49} \sqrt{x} - lim_{x \to 49} 7 \cdot 2)$

解题步骤 2.4

将极限移入根号内。

$\frac{1}{2} (3 \sqrt{lim_{x \to 49} x} - lim_{x \to 49} 7 \cdot 2)$

解题步骤 2.5

计算 $7 \cdot 2$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $49$ 时此极限值为常数。

$\frac{1}{2} (3 \sqrt{lim_{x \to 49} x} - 7 \cdot 2)$

解题步骤 3

将 $49$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1}{2} (3 \sqrt{49} - 7 \cdot 2)$

解题步骤 4

化简答案。

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解题步骤 4.1

化简每一项。

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解题步骤 4.1.1

将 $49$ 重写为 $7^{2}$ 。

$\frac{1}{2} (3 \sqrt{7^{2}} - 7 \cdot 2)$

解题步骤 4.1.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\frac{1}{2} (3 \cdot 7 - 7 \cdot 2)$

解题步骤 4.1.3

将 $3$ 乘以 $7$ 。

$\frac{1}{2} (21 - 7 \cdot 2)$

解题步骤 4.1.4

将 $- 7$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{2} (21 - 14)$

解题步骤 4.2

从 $21$ 中减去 $14$ 。

$\frac{1}{2} \cdot 7$

解题步骤 4.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $7$ 。

$\frac{7}{2}$

解题步骤 5

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{7}{2}$

小数形式：

$3.5$

微积分学 示例

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