微积分学示例

$lim_{x \to 12} \frac{12 - x}{4 x - 48}$

解题步骤 1

运用洛必达法则。

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解题步骤 1.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 1.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{x \to 12} 12 - x}{lim_{x \to 12} 4 x - 48}$

解题步骤 1.1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 1.1.2.1

当 $x$ 趋于 $12$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to 12} 12 - lim_{x \to 12} x}{lim_{x \to 12} 4 x - 48}$

解题步骤 1.1.2.2

计算 $12$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $12$ 时此极限值为常数。

$\frac{12 - lim_{x \to 12} x}{lim_{x \to 12} 4 x - 48}$

解题步骤 1.1.2.3

化简表达式。

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解题步骤 1.1.2.3.1

将 $12$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{12 - 12}{lim_{x \to 12} 4 x - 48}$

解题步骤 1.1.2.3.2

从 $12$ 中减去 $12$ 。

$\frac{0}{lim_{x \to 12} 4 x - 48}$

解题步骤 1.1.3

计算分母的极限值。

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解题步骤 1.1.3.1

计算极限值。

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解题步骤 1.1.3.1.1

当 $x$ 趋于 $12$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{0}{lim_{x \to 12} 4 x - lim_{x \to 12} 48}$

解题步骤 1.1.3.1.2

因为项 $4$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{0}{4 lim_{x \to 12} x - lim_{x \to 12} 48}$

解题步骤 1.1.3.1.3

计算 $48$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $12$ 时此极限值为常数。

$\frac{0}{4 lim_{x \to 12} x - 1 \cdot 48}$

解题步骤 1.1.3.2

将 $12$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{4 \cdot 12 - 1 \cdot 48}$

解题步骤 1.1.3.3

化简答案。

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解题步骤 1.1.3.3.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.3.3.1.1

将 $4$ 乘以 $12$ 。

$\frac{0}{48 - 1 \cdot 48}$

解题步骤 1.1.3.3.1.2

将 $- 1$ 乘以 $48$ 。

$\frac{0}{48 - 48}$

解题步骤 1.1.3.3.2

从 $48$ 中减去 $48$ 。

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.3.3.3

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.3.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to 12} \frac{12 - x}{4 x - 48} = lim_{x \to 12} \frac{\frac{d}{d x} [12 - x]}{\frac{d}{d x} [4 x - 48]}$

解题步骤 1.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 1.3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{x \to 12} \frac{\frac{d}{d x} [12 - x]}{\frac{d}{d x} [4 x - 48]}$

解题步骤 1.3.2

根据加法法则， $12 - x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [12] + \frac{d}{d x} [- x]$ 。

$lim_{x \to 12} \frac{\frac{d}{d x} [12] + \frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [4 x - 48]}$

解题步骤 1.3.3

因为 $12$ 对于 $x$ 是常数，所以 $12$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to 12} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [4 x - 48]}$

解题步骤 1.3.4

计算 $\frac{d}{d x} [- x]$ 。

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解题步骤 1.3.4.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$lim_{x \to 12} \frac{0 - \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [4 x - 48]}$

解题步骤 1.3.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to 12} \frac{0 - 1 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [4 x - 48]}$

解题步骤 1.3.4.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to 12} \frac{0 - 1}{\frac{d}{d x} [4 x - 48]}$

解题步骤 1.3.5

从 $0$ 中减去 $1$ 。

$lim_{x \to 12} \frac{- 1}{\frac{d}{d x} [4 x - 48]}$

解题步骤 1.3.6

根据加法法则， $4 x - 48$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 48]$ 。

$lim_{x \to 12} \frac{- 1}{\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 48]}$

解题步骤 1.3.7

计算 $\frac{d}{d x} [4 x]$ 。

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解题步骤 1.3.7.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$lim_{x \to 12} \frac{- 1}{4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 48]}$

解题步骤 1.3.7.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to 12} \frac{- 1}{4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 48]}$

解题步骤 1.3.7.3

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to 12} \frac{- 1}{4 + \frac{d}{d x} [- 48]}$

解题步骤 1.3.8

因为 $- 48$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 48$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to 12} \frac{- 1}{4 + 0}$

解题步骤 1.3.9

将 $4$ 和 $0$ 相加。

$lim_{x \to 12} \frac{- 1}{4}$

解题步骤 2

计算极限值。

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解题步骤 2.1

计算 $\frac{- 1}{4}$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $12$ 时此极限值为常数。

$\frac{- 1}{4}$

解题步骤 2.2

将负号移到分数的前面。

$- \frac{1}{4}$

解题步骤 3

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$- \frac{1}{4}$

小数形式：

$- 0.25$

微积分学 示例

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