微积分学示例

${(x y)}^{x} = e$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d y} ({(x y)}^{x}) = \frac{d}{d y} (e)$

解题步骤 2

对方程左边求微分。

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解题步骤 2.1

利用广义幂法则求导，即 $\frac{d}{d y} [f^{g}]$ 为 $f^{g} (f' \frac{g}{f} + g' \ln (f))$ ，其中 $f = x y$ 及 $g = x$ 。

$\frac{d}{d y} [x y] (x {(x y)}^{x - 1}) + \frac{d}{d y} [x] ({(x y)}^{x} \ln (x y))$

解题步骤 2.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ 等于 $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ ，其中 $f (y) = x$ 且 $g (y) = y$ 。

$(x \frac{d}{d y} [y] + y \frac{d}{d y} [x]) (x {(x y)}^{x - 1}) + \frac{d}{d y} [x] ({(x y)}^{x} \ln (x y))$

解题步骤 2.3

使用幂法则求微分。

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解题步骤 2.3.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$(x \cdot 1 + y \frac{d}{d y} [x]) x {(x y)}^{x - 1} + \frac{d}{d y} [x] ({(x y)}^{x} \ln (x y))$

解题步骤 2.3.2

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$(x + y \frac{d}{d y} [x]) x {(x y)}^{x - 1} + \frac{d}{d y} [x] ({(x y)}^{x} \ln (x y))$

解题步骤 2.4

将 $\frac{d}{d y} [x]$ 重写为 $x'$ 。

$(x + y x') x {(x y)}^{x - 1} + \frac{d}{d y} [x] ({(x y)}^{x} \ln (x y))$

解题步骤 2.5

将 $\frac{d}{d y} [x]$ 重写为 $x'$ 。

$(x + y x') x {(x y)}^{x - 1} + x' ({(x y)}^{x} \ln (x y))$

解题步骤 2.6

化简。

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解题步骤 2.6.1

对 $x y$ 运用乘积法则。

$(x + y x') x (x^{x - 1} y^{x - 1}) + x' ({(x y)}^{x} \ln (x y))$

解题步骤 2.6.2

对 $x y$ 运用乘积法则。

$(x + y x') x (x^{x - 1} y^{x - 1}) + x' (x^{x} y^{x} \ln (x y))$

解题步骤 2.6.3

运用分配律。

$(x \cdot x + y x' x) (x^{x - 1} y^{x - 1}) + x' (x^{x} y^{x} \ln (x y))$

解题步骤 2.6.4

合并项。

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解题步骤 2.6.4.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$(x^{1} x + y x' x) (x^{x - 1} y^{x - 1}) + x' (x^{x} y^{x} \ln (x y))$

解题步骤 2.6.4.2

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$(x^{1} x^{1} + y x' x) (x^{x - 1} y^{x - 1}) + x' (x^{x} y^{x} \ln (x y))$

解题步骤 2.6.4.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$(x^{1 + 1} + y x' x) (x^{x - 1} y^{x - 1}) + x' (x^{x} y^{x} \ln (x y))$

解题步骤 2.6.4.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$(x^{2} + y x' x) x^{x - 1} y^{x - 1} + x' (x^{x} y^{x} \ln (x y))$

解题步骤 2.6.5

重新排序项。

$x^{x - 1} y^{x - 1} (x^{2} + y x' x) + x^{x} y^{x} \ln (x y) x'$

解题步骤 3

因为 $e$ 对于 $y$ 是常数，所以 $e$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$0$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$x^{x - 1} y^{x - 1} (x^{2} + y x' x) + x^{x} y^{x} \ln (x y) x' = 0$

解题步骤 5

求解 $x'$ 。

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解题步骤 5.1

化简 $x^{x - 1} y^{x - 1} (x^{2} + y x' x) + x^{x} y^{x} \ln (x y) x'$ 。

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解题步骤 5.1.1

化简每一项。

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解题步骤 5.1.1.1

运用分配律。

$x^{x - 1} y^{x - 1} x^{2} + x^{x - 1} y^{x - 1} (y x' x) + x^{x} y^{x} \ln (x y) x' = 0$

解题步骤 5.1.1.2

通过指数相加将 $x^{x - 1}$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 5.1.1.2.1

移动 $x^{2}$ 。

$x^{2} x^{x - 1} y^{x - 1} + x^{x - 1} y^{x - 1} (y x' x) + x^{x} y^{x} \ln (x y) x' = 0$

解题步骤 5.1.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$x^{2 + x - 1} y^{x - 1} + x^{x - 1} y^{x - 1} (y x' x) + x^{x} y^{x} \ln (x y) x' = 0$

解题步骤 5.1.1.2.3

从 $2$ 中减去 $1$ 。

$x^{x + 1} y^{x - 1} + x^{x - 1} y^{x - 1} (y x' x) + x^{x} y^{x} \ln (x y) x' = 0$

解题步骤 5.1.1.3

通过指数相加将 $x^{x - 1}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 5.1.1.3.1

移动 $x$ 。

$x^{x + 1} y^{x - 1} + x \cdot x^{x - 1} y^{x - 1} (y x') + x^{x} y^{x} \ln (x y) x' = 0$

解题步骤 5.1.1.3.2

将 $x$ 乘以 $x^{x - 1}$ 。

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解题步骤 5.1.1.3.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$x^{x + 1} y^{x - 1} + x^{1} x^{x - 1} y^{x - 1} (y x') + x^{x} y^{x} \ln (x y) x' = 0$

解题步骤 5.1.1.3.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$x^{x + 1} y^{x - 1} + x^{1 + x - 1} y^{x - 1} (y x') + x^{x} y^{x} \ln (x y) x' = 0$

解题步骤 5.1.1.3.3

合并 $1 + x - 1$ 中相反的项。

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解题步骤 5.1.1.3.3.1

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$x^{x + 1} y^{x - 1} + x^{x + 0} y^{x - 1} (y x') + x^{x} y^{x} \ln (x y) x' = 0$

解题步骤 5.1.1.3.3.2

将 $x$ 和 $0$ 相加。

$x^{x + 1} y^{x - 1} + x^{x} y^{x - 1} (y x') + x^{x} y^{x} \ln (x y) x' = 0$

解题步骤 5.1.1.4

通过指数相加将 $y^{x - 1}$ 乘以 $y$ 。

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解题步骤 5.1.1.4.1

移动 $y$ 。

$x^{x + 1} y^{x - 1} + x^{x} (y \cdot y^{x - 1}) x' + x^{x} y^{x} \ln (x y) x' = 0$

解题步骤 5.1.1.4.2

将 $y$ 乘以 $y^{x - 1}$ 。

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解题步骤 5.1.1.4.2.1

对 $y$ 进行 $1$ 次方运算。

$x^{x + 1} y^{x - 1} + x^{x} (y^{1} y^{x - 1}) x' + x^{x} y^{x} \ln (x y) x' = 0$

解题步骤 5.1.1.4.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$x^{x + 1} y^{x - 1} + x^{x} y^{1 + x - 1} x' + x^{x} y^{x} \ln (x y) x' = 0$

解题步骤 5.1.1.4.3

合并 $1 + x - 1$ 中相反的项。

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解题步骤 5.1.1.4.3.1

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$x^{x + 1} y^{x - 1} + x^{x} y^{x + 0} x' + x^{x} y^{x} \ln (x y) x' = 0$

解题步骤 5.1.1.4.3.2

将 $x$ 和 $0$ 相加。

$x^{x + 1} y^{x - 1} + x^{x} y^{x} x' + x^{x} y^{x} \ln (x y) x' = 0$

解题步骤 5.1.2

将 $x^{x + 1} y^{x - 1} + x^{x} y^{x} x' + x^{x} y^{x} \ln (x y) x'$ 中的因式重新排序。

$x^{x + 1} y^{x - 1} + x' x^{x} y^{x} + x' x^{x} y^{x} \ln (x y) = 0$

解题步骤 5.2

从等式两边同时减去 $x^{x + 1} y^{x - 1}$ 。

$x' x^{x} y^{x} + x' x^{x} y^{x} \ln (x y) = - x^{x + 1} y^{x - 1}$

解题步骤 5.3

从 $x' x^{x} y^{x} + x' x^{x} y^{x} \ln (x y)$ 中分解出因数 $x' x^{x} y^{x}$ 。

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解题步骤 5.3.1

从 $x' x^{x} y^{x}$ 中分解出因数 $x' x^{x} y^{x}$ 。

$x' x^{x} y^{x} \cdot 1 + x' x^{x} y^{x} \ln (x y) = - x^{x + 1} y^{x - 1}$

解题步骤 5.3.2

从 $x' x^{x} y^{x} \ln (x y)$ 中分解出因数 $x' x^{x} y^{x}$ 。

$x' x^{x} y^{x} \cdot 1 + x' x^{x} y^{x} \ln (x y) = - x^{x + 1} y^{x - 1}$

解题步骤 5.3.3

从 $x' x^{x} y^{x} \cdot 1 + x' x^{x} y^{x} \ln (x y)$ 中分解出因数 $x' x^{x} y^{x}$ 。

$x' x^{x} y^{x} (1 + \ln (x y)) = - x^{x + 1} y^{x - 1}$

解题步骤 5.4

将 $x' x^{x} y^{x} (1 + \ln (x y)) = - x^{x + 1} y^{x - 1}$ 中的每一项除以 $x^{x} y^{x} (1 + \ln (x y))$ 并化简。

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解题步骤 5.4.1

将 $x' x^{x} y^{x} (1 + \ln (x y)) = - x^{x + 1} y^{x - 1}$ 中的每一项都除以 $x^{x} y^{x} (1 + \ln (x y))$ 。

$\frac{x' x^{x} y^{x} (1 + \ln (x y))}{x^{x} y^{x} (1 + \ln (x y))} = \frac{- x^{x + 1} y^{x - 1}}{x^{x} y^{x} (1 + \ln (x y))}$

解题步骤 5.4.2

化简左边。

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解题步骤 5.4.2.1

约去 $x^{x}$ 的公因数。

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解题步骤 5.4.2.1.1

约去公因数。

$\frac{x' x^{x} y^{x} (1 + \ln (x y))}{x^{x} y^{x} (1 + \ln (x y))} = \frac{- x^{x + 1} y^{x - 1}}{x^{x} y^{x} (1 + \ln (x y))}$

解题步骤 5.4.2.1.2

重写表达式。

$\frac{x' y^{x} (1 + \ln (x y))}{y^{x} (1 + \ln (x y))} = \frac{- x^{x + 1} y^{x - 1}}{x^{x} y^{x} (1 + \ln (x y))}$

解题步骤 5.4.2.2

约去 $y^{x}$ 的公因数。

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解题步骤 5.4.2.2.1

约去公因数。

$\frac{x' y^{x} (1 + \ln (x y))}{y^{x} (1 + \ln (x y))} = \frac{- x^{x + 1} y^{x - 1}}{x^{x} y^{x} (1 + \ln (x y))}$

解题步骤 5.4.2.2.2

重写表达式。

$\frac{x' (1 + \ln (x y))}{1 + \ln (x y)} = \frac{- x^{x + 1} y^{x - 1}}{x^{x} y^{x} (1 + \ln (x y))}$

解题步骤 5.4.2.3

约去 $1 + \ln (x y)$ 的公因数。

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解题步骤 5.4.2.3.1

约去公因数。

$\frac{x' (1 + \ln (x y))}{1 + \ln (x y)} = \frac{- x^{x + 1} y^{x - 1}}{x^{x} y^{x} (1 + \ln (x y))}$

解题步骤 5.4.2.3.2

用 $x'$ 除以 $1$ 。

$x' = \frac{- x^{x + 1} y^{x - 1}}{x^{x} y^{x} (1 + \ln (x y))}$

解题步骤 5.4.3

化简右边。

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解题步骤 5.4.3.1

约去 $x^{x + 1}$ 和 $x^{x}$ 的公因数。

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解题步骤 5.4.3.1.1

从 $- x^{x + 1} y^{x - 1}$ 中分解出因数 $x^{x}$ 。

$x' = \frac{x^{x} (- x y^{x - 1})}{x^{x} y^{x} (1 + \ln (x y))}$

解题步骤 5.4.3.1.2

约去公因数。

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解题步骤 5.4.3.1.2.1

从 $x^{x} y^{x} (1 + \ln (x y))$ 中分解出因数 $x^{x}$ 。

$x' = \frac{x^{x} (- x y^{x - 1})}{x^{x} (y^{x} (1 + \ln (x y)))}$

解题步骤 5.4.3.1.2.2

约去公因数。

$x' = \frac{x^{x} (- x y^{x - 1})}{x^{x} (y^{x} (1 + \ln (x y)))}$

解题步骤 5.4.3.1.2.3

重写表达式。

$x' = \frac{- x y^{x - 1}}{y^{x} (1 + \ln (x y))}$

解题步骤 5.4.3.2

约去 $y^{x - 1}$ 和 $y^{x}$ 的公因数。

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解题步骤 5.4.3.2.1

从 $- x y^{x - 1}$ 中分解出因数 $y^{x}$ 。

$x' = \frac{y^{x} (- x y^{- 1})}{y^{x} (1 + \ln (x y))}$

解题步骤 5.4.3.2.2

约去公因数。

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解题步骤 5.4.3.2.2.1

约去公因数。

$x' = \frac{y^{x} (- x y^{- 1})}{y^{x} (1 + \ln (x y))}$

解题步骤 5.4.3.2.2.2

重写表达式。

$x' = \frac{- x y^{- 1}}{1 + \ln (x y)}$

解题步骤 5.4.3.3

化简表达式。

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解题步骤 5.4.3.3.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $y^{- 1}$ 移动到分母。

$x' = \frac{- x}{(1 + \ln (x y)) y}$

解题步骤 5.4.3.3.2

将负号移到分数的前面。

$x' = - \frac{x}{(1 + \ln (x y)) y}$

解题步骤 5.4.3.3.3

将 $- \frac{x}{(1 + \ln (x y)) y}$ 中的因式重新排序。

$x' = - \frac{x}{y (1 + \ln (x y))}$

解题步骤 6

使用 $\frac{d x}{d y}$ 替换 $x'$ 。

$\frac{d x}{d y} = - \frac{x}{y (1 + \ln (x y))}$

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