微积分学示例

$y = {(2 x^{3} + 2)}^{4} \cos^{3} (x)$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(2 x^{3} + 2)}^{4} \cos^{3} (x))$

解题步骤 2

$y$ 对 $x$ 的导数为 $y'$ 。

$y'$

解题步骤 3

对方程右边求微分。

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解题步骤 3.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = {(2 x^{3} + 2)}^{4}$ 且 $g (x) = \cos^{3} (x)$ 。

${(2 x^{3} + 2)}^{4} \frac{d}{d x} [\cos^{3} (x)] + \cos^{3} (x) \frac{d}{d x} [{(2 x^{3} + 2)}^{4}]$

解题步骤 3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{3}$ 且 $g (x) = \cos (x)$ 。

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解题步骤 3.2.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $\cos (x)$ 。

${(2 x^{3} + 2)}^{4} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \cos^{3} (x) \frac{d}{d x} [{(2 x^{3} + 2)}^{4}]$

解题步骤 3.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

${(2 x^{3} + 2)}^{4} (3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \cos^{3} (x) \frac{d}{d x} [{(2 x^{3} + 2)}^{4}]$

解题步骤 3.2.3

使用 $\cos (x)$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

${(2 x^{3} + 2)}^{4} (3 \cos^{2} (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \cos^{3} (x) \frac{d}{d x} [{(2 x^{3} + 2)}^{4}]$

解题步骤 3.3

将 $3$ 移到 ${(2 x^{3} + 2)}^{4}$ 的左侧。

$3 \cdot {(2 x^{3} + 2)}^{4} \cos^{2} (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos^{3} (x) \frac{d}{d x} [{(2 x^{3} + 2)}^{4}]$

解题步骤 3.4

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$3 {(2 x^{3} + 2)}^{4} \cos^{2} (x) (- \sin (x)) + \cos^{3} (x) \frac{d}{d x} [{(2 x^{3} + 2)}^{4}]$

解题步骤 3.5

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$- 3 {(2 x^{3} + 2)}^{4} \cos^{2} (x) \sin (x) + \cos^{3} (x) \frac{d}{d x} [{(2 x^{3} + 2)}^{4}]$

解题步骤 3.6

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{4}$ 且 $g (x) = 2 x^{3} + 2$ 。

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解题步骤 3.6.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $2 x^{3} + 2$ 。

$- 3 {(2 x^{3} + 2)}^{4} \cos^{2} (x) \sin (x) + \cos^{3} (x) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{4}] \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 2])$

解题步骤 3.6.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 等于 $n {u_{2}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$- 3 {(2 x^{3} + 2)}^{4} \cos^{2} (x) \sin (x) + \cos^{3} (x) (4 {u_{2}}^{3} \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 2])$

解题步骤 3.6.3

使用 $2 x^{3} + 2$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$- 3 {(2 x^{3} + 2)}^{4} \cos^{2} (x) \sin (x) + \cos^{3} (x) (4 {(2 x^{3} + 2)}^{3} \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 2])$

解题步骤 3.7

求微分。

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解题步骤 3.7.1

根据加法法则， $2 x^{3} + 2$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [2]$ 。

$- 3 {(2 x^{3} + 2)}^{4} \cos^{2} (x) \sin (x) + \cos^{3} (x) (4 {(2 x^{3} + 2)}^{3} (\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [2]))$

解题步骤 3.7.2

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$- 3 {(2 x^{3} + 2)}^{4} \cos^{2} (x) \sin (x) + \cos^{3} (x) (4 {(2 x^{3} + 2)}^{3} (2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2]))$

解题步骤 3.7.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$- 3 {(2 x^{3} + 2)}^{4} \cos^{2} (x) \sin (x) + \cos^{3} (x) (4 {(2 x^{3} + 2)}^{3} (2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [2]))$

解题步骤 3.7.4

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$- 3 {(2 x^{3} + 2)}^{4} \cos^{2} (x) \sin (x) + \cos^{3} (x) (4 {(2 x^{3} + 2)}^{3} (6 x^{2} + \frac{d}{d x} [2]))$

解题步骤 3.7.5

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$- 3 {(2 x^{3} + 2)}^{4} \cos^{2} (x) \sin (x) + \cos^{3} (x) (4 {(2 x^{3} + 2)}^{3} (6 x^{2} + 0))$

解题步骤 3.7.6

化简表达式。

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解题步骤 3.7.6.1

将 $6 x^{2}$ 和 $0$ 相加。

$- 3 {(2 x^{3} + 2)}^{4} \cos^{2} (x) \sin (x) + \cos^{3} (x) (4 {(2 x^{3} + 2)}^{3} (6 x^{2}))$

解题步骤 3.7.6.2

将 $6$ 乘以 $4$ 。

$- 3 {(2 x^{3} + 2)}^{4} \cos^{2} (x) \sin (x) + \cos^{3} (x) (24 {(2 x^{3} + 2)}^{3} x^{2})$

解题步骤 3.7.6.3

重新排序项。

$- 3 \cos^{2} (x) {(2 x^{3} + 2)}^{4} \sin (x) + 24 x^{2} \cos^{3} (x) {(2 x^{3} + 2)}^{3}$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$y' = - 3 \cos^{2} (x) {(2 x^{3} + 2)}^{4} \sin (x) + 24 x^{2} \cos^{3} (x) {(2 x^{3} + 2)}^{3}$

解题步骤 5

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = - 3 \cos^{2} (x) {(2 x^{3} + 2)}^{4} \sin (x) + 24 x^{2} \cos^{3} (x) {(2 x^{3} + 2)}^{3}$

微积分学 示例

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