微积分学示例

$g (x) = \frac{x^{2} + 3 x - 5}{x^{4}}$

解题步骤 1

通过计算导数 $g (x)$ 的不定积分求函数 $G (x)$ 。

$G (x) = \int g (x) d x$

解题步骤 2

建立要求解的定积分。

$G (x) = \int \frac{x^{2} + 3 x - 5}{x^{4}} d x$

解题步骤 3

通过将 $x^{4}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$\int (x^{2} + 3 x - 5) {(x^{4})}^{- 1} d x$

解题步骤 4

将 ${(x^{4})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 4.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\int (x^{2} + 3 x - 5) x^{4 \cdot - 1} d x$

解题步骤 4.2

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$\int (x^{2} + 3 x - 5) x^{- 4} d x$

解题步骤 5

展开 $(x^{2} + 3 x - 5) x^{- 4}$ 。

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解题步骤 5.1

运用分配律。

$\int (x^{2} + 3 x) x^{- 4} - 5 x^{- 4} d x$

解题步骤 5.2

运用分配律。

$\int x^{2} x^{- 4} + 3 x \cdot x^{- 4} - 5 x^{- 4} d x$

解题步骤 5.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int x^{2 - 4} + 3 x \cdot x^{- 4} - 5 x^{- 4} d x$

解题步骤 5.4

从 $2$ 中减去 $4$ 。

$\int x^{- 2} + 3 x \cdot x^{- 4} - 5 x^{- 4} d x$

解题步骤 5.5

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int x^{- 2} + 3 (x^{1} x^{- 4}) - 5 x^{- 4} d x$

解题步骤 5.6

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int x^{- 2} + 3 x^{1 - 4} - 5 x^{- 4} d x$

解题步骤 5.7

从 $1$ 中减去 $4$ 。

$\int x^{- 2} + 3 x^{- 3} - 5 x^{- 4} d x$

解题步骤 6

将单个积分拆分为多个积分。

$\int x^{- 2} d x + \int 3 x^{- 3} d x + \int - 5 x^{- 4} d x$

解题步骤 7

根据幂法则， $x^{- 2}$ 对 $x$ 的积分是 $- x^{- 1}$ 。

$- x^{- 1} + C + \int 3 x^{- 3} d x + \int - 5 x^{- 4} d x$

解题步骤 8

由于 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $3$ 移到积分外。

$- x^{- 1} + C + 3 \int x^{- 3} d x + \int - 5 x^{- 4} d x$

解题步骤 9

根据幂法则， $x^{- 3}$ 对 $x$ 的积分是 $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ 。

$- x^{- 1} + C + 3 (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C) + \int - 5 x^{- 4} d x$

解题步骤 10

化简。

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解题步骤 10.1

组合 $x^{- 2}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$- x^{- 1} + C + 3 (- \frac{x^{- 2}}{2} + C) + \int - 5 x^{- 4} d x$

解题步骤 10.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- 2}$ 移动到分母。

$- x^{- 1} + C + 3 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + \int - 5 x^{- 4} d x$

解题步骤 11

由于 $- 5$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 5$ 移到积分外。

$- x^{- 1} + C + 3 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - 5 \int x^{- 4} d x$

解题步骤 12

根据幂法则， $x^{- 4}$ 对 $x$ 的积分是 $- \frac{1}{3} x^{- 3}$ 。

$- x^{- 1} + C + 3 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - 5 (- \frac{1}{3} x^{- 3} + C)$

解题步骤 13

化简。

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解题步骤 13.1

化简。

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解题步骤 13.1.1

组合 $x^{- 3}$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$- x^{- 1} + C + 3 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - 5 (- \frac{x^{- 3}}{3} + C)$

解题步骤 13.1.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- 3}$ 移动到分母。

$- x^{- 1} + C + 3 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - 5 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C)$

解题步骤 13.2

化简。

$- \frac{1}{x} - \frac{3}{2 x^{2}} - 5 (- \frac{1}{3 x^{3}}) + C$

解题步骤 13.3

化简。

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解题步骤 13.3.1

将 $- 1$ 乘以 $- 5$ 。

$- \frac{1}{x} - \frac{3}{2 x^{2}} + 5 \frac{1}{3 x^{3}} + C$

解题步骤 13.3.2

组合 $5$ 和 $\frac{1}{3 x^{3}}$ 。

$- \frac{1}{x} - \frac{3}{2 x^{2}} + \frac{5}{3 x^{3}} + C$

解题步骤 14

答案是函数 $g (x) = \frac{x^{2} + 3 x - 5}{x^{4}}$ 的不定积分。

$G (x) =$ $- \frac{1}{x} - \frac{3}{2 x^{2}} + \frac{5}{3 x^{3}} + C$

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