微积分学示例

$y = x \sqrt{1 - x^{2}}$

解题步骤 1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{1 - x^{2}}$ 重写成 ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 。

$y = x {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 2

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} (x {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1$

解题步骤 4

对方程右边求微分。

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解题步骤 4.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ 等于 $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ ，其中 $f (y) = x$ 且 $g (y) = {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 。

$x \frac{d}{d y} [{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}] + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [x]$

解题步骤 4.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ 等于 $f' (g (y)) g' (y)$ ，其中 $f (y) = y^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (y) = 1 - x^{2}$ 。

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解题步骤 4.2.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $1 - x^{2}$ 。

$x (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d y} [1 - x^{2}]) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [x]$

解题步骤 4.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$x (\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d y} [1 - x^{2}]) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [x]$

解题步骤 4.2.3

使用 $1 - x^{2}$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$x (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d y} [1 - x^{2}]) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [x]$

解题步骤 4.3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$x (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d y} [1 - x^{2}]) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [x]$

解题步骤 4.4

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$x (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d y} [1 - x^{2}]) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [x]$

解题步骤 4.5

在公分母上合并分子。

$x (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d y} [1 - x^{2}]) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [x]$

解题步骤 4.6

化简分子。

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解题步骤 4.6.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$x (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d y} [1 - x^{2}]) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [x]$

解题步骤 4.6.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$x (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d y} [1 - x^{2}]) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [x]$

解题步骤 4.7

求微分。

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解题步骤 4.7.1

将负号移到分数的前面。

$x (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [1 - x^{2}]) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [x]$

解题步骤 4.7.2

合并分数。

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解题步骤 4.7.2.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 ${(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ 。

$x (\frac{{(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d y} [1 - x^{2}]) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [x]$

解题步骤 4.7.2.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$x (\frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [1 - x^{2}]) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [x]$

解题步骤 4.7.2.3

组合 $\frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ 和 $x$ 。

$\frac{x}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [1 - x^{2}] + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [x]$

解题步骤 4.7.3

根据加法法则， $1 - x^{2}$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- x^{2}]$ 。

$\frac{x}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- x^{2}]) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [x]$

解题步骤 4.7.4

因为 $1$ 对于 $y$ 是常数，所以 $1$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{x}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d y} [- x^{2}]) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [x]$

解题步骤 4.7.5

将 $0$ 和 $\frac{d}{d y} [- x^{2}]$ 相加。

$\frac{x}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [- x^{2}] + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [x]$

解题步骤 4.7.6

因为 $- 1$ 对于 $y$ 是常数，所以 $- x^{2}$ 对 $y$ 的导数是 $- \frac{d}{d y} [x^{2}]$ 。

$\frac{x}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d y} [x^{2}]) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [x]$

解题步骤 4.8

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ 等于 $f' (g (y)) g' (y)$ ，其中 $f (y) = y^{2}$ 且 $g (y) = x$ 。

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解题步骤 4.8.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $x$ 。

$\frac{x}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d y} [x])) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [x]$

解题步骤 4.8.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 等于 $n {u_{2}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{x}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- (2 u_{2} \frac{d}{d y} [x])) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [x]$

解题步骤 4.8.3

使用 $x$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\frac{x}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- (2 x \frac{d}{d y} [x])) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [x]$

解题步骤 4.9

合并分数。

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解题步骤 4.9.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{x}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 2 (x \frac{d}{d y} [x])) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [x]$

解题步骤 4.9.2

组合 $- 2$ 和 $\frac{x}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{- 2 x}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (x \frac{d}{d y} [x]) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [x]$

解题步骤 4.9.3

组合 $x$ 和 $\frac{- 2 x}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{x (- 2 x)}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [x] + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [x]$

解题步骤 4.10

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{- 2 (x^{1} x)}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [x] + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [x]$

解题步骤 4.11

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{- 2 (x^{1} x^{1})}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [x] + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [x]$

解题步骤 4.12

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{- 2 x^{1 + 1}}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [x] + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [x]$

解题步骤 4.13

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{- 2 x^{2}}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [x] + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [x]$

解题步骤 4.14

从 $- 2 x^{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (- x^{2})}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [x] + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [x]$

解题步骤 4.15

约去公因数。

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解题步骤 4.15.1

从 $2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (- x^{2})}{2 ({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})} \frac{d}{d y} [x] + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [x]$

解题步骤 4.15.2

约去公因数。

$\frac{2 (- x^{2})}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [x] + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [x]$

解题步骤 4.15.3

重写表达式。

$\frac{- x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [x] + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [x]$

解题步骤 4.16

将负号移到分数的前面。

$- \frac{x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [x] + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [x]$

解题步骤 4.17

将 $\frac{d}{d y} [x]$ 重写为 $x'$ 。

$- \frac{x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} x' + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [x]$

解题步骤 4.18

组合 $x'$ 和 $\frac{x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$- \frac{x' x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [x]$

解题步骤 4.19

将 $\frac{d}{d y} [x]$ 重写为 $x'$ 。

$- \frac{x' x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x'$

解题步骤 4.20

将 $- \frac{x' x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x'$ 中的因式重新排序。

$- \frac{x^{2} x'}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x'$

解题步骤 5

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$1 = - \frac{x^{2} x'}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x'$

解题步骤 6

求解 $x'$ 。

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解题步骤 6.1

将方程重写为 $- \frac{x^{2} x'}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x' = 1$ 。

$- \frac{x^{2} x'}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x' = 1$

解题步骤 6.2

求方程中各项的最小公分母 (LCD)。

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解题步骤 6.2.1

求一列数值的最小公分母 (LCD) 等同于求这些数值的分母的最小公倍数 (LCM)。

${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}, 1, 1$

解题步骤 6.2.2

1 和任何表达式的最小公倍数就是该表达式。

${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 6.3

将 $- \frac{x^{2} x'}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x' = 1$ 中的每一项乘以 ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 以消去分数。

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解题步骤 6.3.1

将 $- \frac{x^{2} x'}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x' = 1$ 中的每一项乘以 ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 。

$- \frac{x^{2} x'}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x' {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} = 1 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 6.3.2

化简左边。

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解题步骤 6.3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 6.3.2.1.1

约去 ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 的公因数。

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解题步骤 6.3.2.1.1.1

将 $- \frac{x^{2} x'}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{- x^{2} x'}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x' {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} = 1 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 6.3.2.1.1.2

约去公因数。

$\frac{- x^{2} x'}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x' {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} = 1 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 6.3.2.1.1.3

重写表达式。

$- x^{2} x' + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x' {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} = 1 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 6.3.2.1.2

通过指数相加将 ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 乘以 ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 6.3.2.1.2.1

移动 ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 。

$- x^{2} x' + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x' = 1 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 6.3.2.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- x^{2} x' + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} x' = 1 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 6.3.2.1.2.3

在公分母上合并分子。

$- x^{2} x' + {(1 - x^{2})}^{\frac{1 + 1}{2}} x' = 1 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 6.3.2.1.2.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$- x^{2} x' + {(1 - x^{2})}^{\frac{2}{2}} x' = 1 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 6.3.2.1.2.5

用 $2$ 除以 $2$ 。

$- x^{2} x' + {(1 - x^{2})}^{1} x' = 1 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 6.3.2.1.3

化简 ${(1 - x^{2})}^{1} x'$ 。

$- x^{2} x' + (1 - x^{2}) x' = 1 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 6.3.2.1.4

运用分配律。

$- x^{2} x' + 1 x' - x^{2} x' = 1 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 6.3.2.1.5

将 $x'$ 乘以 $1$ 。

$- x^{2} x' + x' - x^{2} x' = 1 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 6.3.2.2

从 $- x^{2} x'$ 中减去 $x^{2} x'$ 。

$- 2 x^{2} x' + x' = 1 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 6.3.3

化简右边。

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解题步骤 6.3.3.1

将 ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $1$ 。

$- 2 x^{2} x' + x' = {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 6.4

求解方程。

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解题步骤 6.4.1

从 $- 2 x^{2} x' + x'$ 中分解出因数 $x'$ 。

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解题步骤 6.4.1.1

从 $- 2 x^{2} x'$ 中分解出因数 $x'$ 。

$x' (- 2 x^{2}) + x' = {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 6.4.1.2

对 $x'$ 进行 $1$ 次方运算。

$x' (- 2 x^{2}) + x' = {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 6.4.1.3

从 ${x'}^{1}$ 中分解出因数 $x'$ 。

$x' (- 2 x^{2}) + x' \cdot 1 = {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 6.4.1.4

从 $x' (- 2 x^{2}) + x' \cdot 1$ 中分解出因数 $x'$ 。

$x' (- 2 x^{2} + 1) = {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 6.4.2

将 $x' (- 2 x^{2} + 1) = {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 中的每一项除以 $- 2 x^{2} + 1$ 并化简。

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解题步骤 6.4.2.1

将 $x' (- 2 x^{2} + 1) = {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 中的每一项都除以 $- 2 x^{2} + 1$ 。

$\frac{x' (- 2 x^{2} + 1)}{- 2 x^{2} + 1} = \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{- 2 x^{2} + 1}$

解题步骤 6.4.2.2

化简左边。

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解题步骤 6.4.2.2.1

约去 $- 2 x^{2} + 1$ 的公因数。

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解题步骤 6.4.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{x' (- 2 x^{2} + 1)}{- 2 x^{2} + 1} = \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{- 2 x^{2} + 1}$

解题步骤 6.4.2.2.1.2

用 $x'$ 除以 $1$ 。

$x' = \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{- 2 x^{2} + 1}$

解题步骤 6.4.2.3

化简右边。

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解题步骤 6.4.2.3.1

从 $- 2 x^{2}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$x' = \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{- (2 x^{2}) + 1}$

解题步骤 6.4.2.3.2

将 $1$ 重写为 $- 1 (- 1)$ 。

$x' = \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{- (2 x^{2}) - 1 (- 1)}$

解题步骤 6.4.2.3.3

从 $- (2 x^{2}) - 1 (- 1)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$x' = \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{- (2 x^{2} - 1)}$

解题步骤 6.4.2.3.4

重写负数。

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解题步骤 6.4.2.3.4.1

将 $- (2 x^{2} - 1)$ 重写为 $- 1 (2 x^{2} - 1)$ 。

$x' = \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{- 1 (2 x^{2} - 1)}$

解题步骤 6.4.2.3.4.2

将负号移到分数的前面。

$x' = - \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 x^{2} - 1}$

解题步骤 7

使用 $\frac{d x}{d y}$ 替换 $x'$ 。

$\frac{d x}{d y} = - \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 x^{2} - 1}$

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