微积分学示例

$f (x) = \frac{2}{5} x^{5} + 5 x^{4} + 16 x^{3} - 15$

解题步骤 1

求函数的一阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1

根据加法法则， $\frac{2}{5} x^{5} + 5 x^{4} + 16 x^{3} - 15$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\frac{2}{5} x^{5}] + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 15]$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{2}{5} x^{5}] + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 15]$

解题步骤 1.2

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{2}{5} x^{5}]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.1

因为 $\frac{2}{5}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{2}{5} x^{5}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{2}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ 。

$\frac{2}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 15]$

解题步骤 1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 5$ 。

$\frac{2}{5} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 15]$

解题步骤 1.2.3

组合 $5$ 和 $\frac{2}{5}$ 。

$\frac{5 \cdot 2}{5} x^{4} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 15]$

解题步骤 1.2.4

将 $5$ 乘以 $2$ 。

$\frac{10}{5} x^{4} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 15]$

解题步骤 1.2.5

组合 $\frac{10}{5}$ 和 $x^{4}$ 。

$\frac{10 x^{4}}{5} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 15]$

解题步骤 1.2.6

约去 $10$ 和 $5$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.6.1

从 $10 x^{4}$ 中分解出因数 $5$ 。

$\frac{5 (2 x^{4})}{5} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 15]$

解题步骤 1.2.6.2

约去公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.6.2.1

从 $5$ 中分解出因数 $5$ 。

$\frac{5 (2 x^{4})}{5 (1)} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 15]$

解题步骤 1.2.6.2.2

约去公因数。

$\frac{5 (2 x^{4})}{5 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 15]$

解题步骤 1.2.6.2.3

重写表达式。

$\frac{2 x^{4}}{1} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 15]$

解题步骤 1.2.6.2.4

用 $2 x^{4}$ 除以 $1$ 。

$2 x^{4} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 15]$

解题步骤 1.3

计算 $\frac{d}{d x} [5 x^{4}]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.3.1

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5 x^{4}$ 对 $x$ 的导数是 $5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 。

$2 x^{4} + 5 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 15]$

解题步骤 1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$2 x^{4} + 5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 15]$

解题步骤 1.3.3

将 $4$ 乘以 $5$ 。

$2 x^{4} + 20 x^{3} + \frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 15]$

解题步骤 1.4

计算 $\frac{d}{d x} [16 x^{3}]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.4.1

因为 $16$ 对于 $x$ 是常数，所以 $16 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $16 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$2 x^{4} + 20 x^{3} + 16 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 15]$

解题步骤 1.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$2 x^{4} + 20 x^{3} + 16 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 15]$

解题步骤 1.4.3

将 $3$ 乘以 $16$ 。

$2 x^{4} + 20 x^{3} + 48 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 15]$

解题步骤 1.5

使用常数法则求导。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.5.1

因为 $- 15$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 15$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$2 x^{4} + 20 x^{3} + 48 x^{2} + 0$

解题步骤 1.5.2

将 $2 x^{4} + 20 x^{3} + 48 x^{2}$ 和 $0$ 相加。

$2 x^{4} + 20 x^{3} + 48 x^{2}$

解题步骤 2

求函数的二阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

根据加法法则， $2 x^{4} + 20 x^{3} + 48 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [20 x^{3}] + \frac{d}{d x} [48 x^{2}]$ 。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (2 x^{4}) + \frac{d}{d x} (20 x^{3}) + \frac{d}{d x} (48 x^{2})$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [2 x^{4}]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x^{4}$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 。

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (20 x^{3}) + \frac{d}{d x} (48 x^{2})$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$f'' (x) = 2 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (20 x^{3}) + \frac{d}{d x} (48 x^{2})$

解题步骤 2.2.3

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$f'' (x) = 8 x^{3} + \frac{d}{d x} (20 x^{3}) + \frac{d}{d x} (48 x^{2})$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d x} [20 x^{3}]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.1

因为 $20$ 对于 $x$ 是常数，所以 $20 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $20 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$f'' (x) = 8 x^{3} + 20 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (48 x^{2})$

解题步骤 2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$f'' (x) = 8 x^{3} + 20 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (48 x^{2})$

解题步骤 2.3.3

将 $3$ 乘以 $20$ 。

$f'' (x) = 8 x^{3} + 60 x^{2} + \frac{d}{d x} (48 x^{2})$

解题步骤 2.4

计算 $\frac{d}{d x} [48 x^{2}]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.4.1

因为 $48$ 对于 $x$ 是常数，所以 $48 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $48 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$f'' (x) = 8 x^{3} + 60 x^{2} + 48 \frac{d}{d x} (x^{2})$

解题步骤 2.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f'' (x) = 8 x^{3} + 60 x^{2} + 48 (2 x)$

解题步骤 2.4.3

将 $2$ 乘以 $48$ 。

$f'' (x) = 8 x^{3} + 60 x^{2} + 96 x$

解题步骤 3

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$2 x^{4} + 20 x^{3} + 48 x^{2} = 0$

解题步骤 4

求一阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1

求一阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.1

$\frac{d}{d x} [\frac{2}{5} x^{5}] + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 15]$

解题步骤 4.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{2}{5} x^{5}]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.2.1

因为 $\frac{2}{5}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{2}{5} x^{5}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{2}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ 。

$\frac{2}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 15]$

解题步骤 4.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 5$ 。

$\frac{2}{5} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 15]$

解题步骤 4.1.2.3

组合 $5$ 和 $\frac{2}{5}$ 。

$\frac{5 \cdot 2}{5} x^{4} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 15]$

解题步骤 4.1.2.4

将 $5$ 乘以 $2$ 。

$\frac{10}{5} x^{4} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 15]$

解题步骤 4.1.2.5

组合 $\frac{10}{5}$ 和 $x^{4}$ 。

$\frac{10 x^{4}}{5} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 15]$

解题步骤 4.1.2.6

约去 $10$ 和 $5$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.2.6.1

从 $10 x^{4}$ 中分解出因数 $5$ 。

$\frac{5 (2 x^{4})}{5} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 15]$

解题步骤 4.1.2.6.2

约去公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.2.6.2.1

从 $5$ 中分解出因数 $5$ 。

$\frac{5 (2 x^{4})}{5 (1)} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 15]$

解题步骤 4.1.2.6.2.2

约去公因数。

$\frac{5 (2 x^{4})}{5 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 15]$

解题步骤 4.1.2.6.2.3

重写表达式。

$\frac{2 x^{4}}{1} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 15]$

解题步骤 4.1.2.6.2.4

用 $2 x^{4}$ 除以 $1$ 。

$2 x^{4} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 15]$

解题步骤 4.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [5 x^{4}]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.3.1

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5 x^{4}$ 对 $x$ 的导数是 $5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 。

$2 x^{4} + 5 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 15]$

解题步骤 4.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$2 x^{4} + 5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 15]$

解题步骤 4.1.3.3

将 $4$ 乘以 $5$ 。

$2 x^{4} + 20 x^{3} + \frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 15]$

解题步骤 4.1.4

计算 $\frac{d}{d x} [16 x^{3}]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.4.1

因为 $16$ 对于 $x$ 是常数，所以 $16 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $16 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$2 x^{4} + 20 x^{3} + 16 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 15]$

解题步骤 4.1.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$2 x^{4} + 20 x^{3} + 16 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 15]$

解题步骤 4.1.4.3

将 $3$ 乘以 $16$ 。

$2 x^{4} + 20 x^{3} + 48 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 15]$

解题步骤 4.1.5

使用常数法则求导。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.5.1

因为 $- 15$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 15$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$2 x^{4} + 20 x^{3} + 48 x^{2} + 0$

解题步骤 4.1.5.2

将 $2 x^{4} + 20 x^{3} + 48 x^{2}$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = 2 x^{4} + 20 x^{3} + 48 x^{2}$

解题步骤 4.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $2 x^{4} + 20 x^{3} + 48 x^{2}$ 。

$2 x^{4} + 20 x^{3} + 48 x^{2}$

解题步骤 5

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $2 x^{4} + 20 x^{3} + 48 x^{2} = 0$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$2 x^{4} + 20 x^{3} + 48 x^{2} = 0$

解题步骤 5.2

对方程左边进行因式分解。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.1

从 $2 x^{4} + 20 x^{3} + 48 x^{2}$ 中分解出因数 $2 x^{2}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.1.1

从 $2 x^{4}$ 中分解出因数 $2 x^{2}$ 。

$2 x^{2} (x^{2}) + 20 x^{3} + 48 x^{2} = 0$

解题步骤 5.2.1.2

从 $20 x^{3}$ 中分解出因数 $2 x^{2}$ 。

$2 x^{2} (x^{2}) + 2 x^{2} (10 x) + 48 x^{2} = 0$

解题步骤 5.2.1.3

从 $48 x^{2}$ 中分解出因数 $2 x^{2}$ 。

$2 x^{2} (x^{2}) + 2 x^{2} (10 x) + 2 x^{2} (24) = 0$

解题步骤 5.2.1.4

从 $2 x^{2} (x^{2}) + 2 x^{2} (10 x)$ 中分解出因数 $2 x^{2}$ 。

$2 x^{2} (x^{2} + 10 x) + 2 x^{2} (24) = 0$

解题步骤 5.2.1.5

从 $2 x^{2} (x^{2} + 10 x) + 2 x^{2} (24)$ 中分解出因数 $2 x^{2}$ 。

$2 x^{2} (x^{2} + 10 x + 24) = 0$

解题步骤 5.2.2

因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.2.1

使用 AC 法来对 $x^{2} + 10 x + 24$ 进行因式分解。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.2.1.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $24$ ，和为 $10$ 。

$4, 6$

解题步骤 5.2.2.1.2

使用这些整数书写分数形式。

$2 x^{2} ((x + 4) (x + 6)) = 0$

解题步骤 5.2.2.2

去掉多余的括号。

$2 x^{2} (x + 4) (x + 6) = 0$

解题步骤 5.3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x^{2} = 0$

$x + 4 = 0$

$x + 6 = 0$

解题步骤 5.4

将 $x^{2}$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.4.1

将 $x^{2}$ 设为等于 $0$ 。

$x^{2} = 0$

解题步骤 5.4.2

求解 $x$ 的 $x^{2} = 0$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.4.2.1

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$x = \pm \sqrt{0}$

解题步骤 5.4.2.2

化简 $\pm \sqrt{0}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.4.2.2.1

将 $0$ 重写为 $0^{2}$ 。

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

解题步骤 5.4.2.2.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$x = \pm 0$

解题步骤 5.4.2.2.3

正负 $0$ 是 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 5.5

将 $x + 4$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.5.1

将 $x + 4$ 设为等于 $0$ 。

$x + 4 = 0$

解题步骤 5.5.2

从等式两边同时减去 $4$ 。

$x = - 4$

解题步骤 5.6

将 $x + 6$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.6.1

将 $x + 6$ 设为等于 $0$ 。

$x + 6 = 0$

解题步骤 5.6.2

从等式两边同时减去 $6$ 。

$x = - 6$

解题步骤 5.7

最终解为使 $2 x^{2} (x + 4) (x + 6) = 0$ 成立的所有值。

$x = 0, - 4, - 6$

解题步骤 6

求使导数无意义的值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

解题步骤 7

要计算的驻点。

$x = 0, - 4, - 6$

解题步骤 8

计算在 $x = 0$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$8 {(0)}^{3} + 60 {(0)}^{2} + 96 (0)$

解题步骤 9

计算二阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$8 \cdot 0 + 60 {(0)}^{2} + 96 (0)$

解题步骤 9.1.2

将 $8$ 乘以 $0$ 。

$0 + 60 {(0)}^{2} + 96 (0)$

解题步骤 9.1.3

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$0 + 60 \cdot 0 + 96 (0)$

解题步骤 9.1.4

将 $60$ 乘以 $0$ 。

$0 + 0 + 96 (0)$

解题步骤 9.1.5

将 $96$ 乘以 $0$ 。

$0 + 0 + 0$

解题步骤 9.2

通过加上各数进行化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.2.1

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$0 + 0$

解题步骤 9.2.2

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$0$

解题步骤 10

因为至少有一个点是 $0$ 或使二阶导数无意义，所以使用一阶导数判别法。

点击获取更多步骤...

解题步骤 10.1

根据使一阶导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 值，将 $(- \infty, \infty)$ 分割为不同的区间。

$(- \infty, - 6) \cup (- 6, - 4) \cup (- 4, 0) \cup (0, \infty)$

解题步骤 10.2

将区间 $(- \infty, - 6)$ 内的任一数字（例如 $- 8$ ）代入一阶导数 $2 x^{4} + 20 x^{3} + 48 x^{2}$ 中，检查所得结果是负数还是正数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 10.2.1

使用表达式中的 $- 8$ 替换变量 $x$ 。

$f' (- 8) = 2 {(- 8)}^{4} + 20 {(- 8)}^{3} + 48 {(- 8)}^{2}$

解题步骤 10.2.2

化简结果。

点击获取更多步骤...

解题步骤 10.2.2.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 10.2.2.1.1

对 $- 8$ 进行 $4$ 次方运算。

$f' (- 8) = 2 \cdot 4096 + 20 {(- 8)}^{3} + 48 {(- 8)}^{2}$

解题步骤 10.2.2.1.2

将 $2$ 乘以 $4096$ 。

$f' (- 8) = 8192 + 20 {(- 8)}^{3} + 48 {(- 8)}^{2}$

解题步骤 10.2.2.1.3

对 $- 8$ 进行 $3$ 次方运算。

$f' (- 8) = 8192 + 20 \cdot - 512 + 48 {(- 8)}^{2}$

解题步骤 10.2.2.1.4

将 $20$ 乘以 $- 512$ 。

$f' (- 8) = 8192 - 10240 + 48 {(- 8)}^{2}$

解题步骤 10.2.2.1.5

对 $- 8$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (- 8) = 8192 - 10240 + 48 \cdot 64$

解题步骤 10.2.2.1.6

将 $48$ 乘以 $64$ 。

$f' (- 8) = 8192 - 10240 + 3072$

解题步骤 10.2.2.2

通过相加和相减进行化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 10.2.2.2.1

从 $8192$ 中减去 $10240$ 。

$f' (- 8) = - 2048 + 3072$

解题步骤 10.2.2.2.2

将 $- 2048$ 和 $3072$ 相加。

$f' (- 8) = 1024$

解题步骤 10.2.2.3

最终答案为 $1024$ 。

$1024$

解题步骤 10.3

将区间 $(- 6, - 4)$ 内的任一数字（例如 $- 5$ ）代入一阶导数 $2 x^{4} + 20 x^{3} + 48 x^{2}$ 中，检查所得结果是负数还是正数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 10.3.1

使用表达式中的 $- 5$ 替换变量 $x$ 。

$f' (- 5) = 2 {(- 5)}^{4} + 20 {(- 5)}^{3} + 48 {(- 5)}^{2}$

解题步骤 10.3.2

化简结果。

点击获取更多步骤...

解题步骤 10.3.2.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 10.3.2.1.1

对 $- 5$ 进行 $4$ 次方运算。

$f' (- 5) = 2 \cdot 625 + 20 {(- 5)}^{3} + 48 {(- 5)}^{2}$

解题步骤 10.3.2.1.2

将 $2$ 乘以 $625$ 。

$f' (- 5) = 1250 + 20 {(- 5)}^{3} + 48 {(- 5)}^{2}$

解题步骤 10.3.2.1.3

对 $- 5$ 进行 $3$ 次方运算。

$f' (- 5) = 1250 + 20 \cdot - 125 + 48 {(- 5)}^{2}$

解题步骤 10.3.2.1.4

将 $20$ 乘以 $- 125$ 。

$f' (- 5) = 1250 - 2500 + 48 {(- 5)}^{2}$

解题步骤 10.3.2.1.5

对 $- 5$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (- 5) = 1250 - 2500 + 48 \cdot 25$

解题步骤 10.3.2.1.6

将 $48$ 乘以 $25$ 。

$f' (- 5) = 1250 - 2500 + 1200$

解题步骤 10.3.2.2

通过相加和相减进行化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 10.3.2.2.1

从 $1250$ 中减去 $2500$ 。

$f' (- 5) = - 1250 + 1200$

解题步骤 10.3.2.2.2

将 $- 1250$ 和 $1200$ 相加。

$f' (- 5) = - 50$

解题步骤 10.3.2.3

最终答案为 $- 50$ 。

$- 50$

解题步骤 10.4

将区间 $(- 4, 0)$ 内的任一数字（例如 $- 2$ ）代入一阶导数 $2 x^{4} + 20 x^{3} + 48 x^{2}$ 中，检查所得结果是负数还是正数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 10.4.1

使用表达式中的 $- 2$ 替换变量 $x$ 。

$f' (- 2) = 2 {(- 2)}^{4} + 20 {(- 2)}^{3} + 48 {(- 2)}^{2}$

解题步骤 10.4.2

化简结果。

点击获取更多步骤...

解题步骤 10.4.2.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 10.4.2.1.1

对 $- 2$ 进行 $4$ 次方运算。

$f' (- 2) = 2 \cdot 16 + 20 {(- 2)}^{3} + 48 {(- 2)}^{2}$

解题步骤 10.4.2.1.2

将 $2$ 乘以 $16$ 。

$f' (- 2) = 32 + 20 {(- 2)}^{3} + 48 {(- 2)}^{2}$

解题步骤 10.4.2.1.3

对 $- 2$ 进行 $3$ 次方运算。

$f' (- 2) = 32 + 20 \cdot - 8 + 48 {(- 2)}^{2}$

解题步骤 10.4.2.1.4

将 $20$ 乘以 $- 8$ 。

$f' (- 2) = 32 - 160 + 48 {(- 2)}^{2}$

解题步骤 10.4.2.1.5

对 $- 2$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (- 2) = 32 - 160 + 48 \cdot 4$

解题步骤 10.4.2.1.6

将 $48$ 乘以 $4$ 。

$f' (- 2) = 32 - 160 + 192$

解题步骤 10.4.2.2

通过相加和相减进行化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 10.4.2.2.1

从 $32$ 中减去 $160$ 。

$f' (- 2) = - 128 + 192$

解题步骤 10.4.2.2.2

将 $- 128$ 和 $192$ 相加。

$f' (- 2) = 64$

解题步骤 10.4.2.3

最终答案为 $64$ 。

$64$

解题步骤 10.5

将区间 $(0, \infty)$ 内的任一数字（例如 $2$ ）代入一阶导数 $2 x^{4} + 20 x^{3} + 48 x^{2}$ 中，检查所得结果是负数还是正数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 10.5.1

使用表达式中的 $2$ 替换变量 $x$ 。

$f' (2) = 2 {(2)}^{4} + 20 {(2)}^{3} + 48 {(2)}^{2}$

解题步骤 10.5.2

化简结果。

点击获取更多步骤...

解题步骤 10.5.2.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 10.5.2.1.1

通过指数相加将 $2$ 乘以 ${(2)}^{4}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 10.5.2.1.1.1

将 $2$ 乘以 ${(2)}^{4}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 10.5.2.1.1.1.1

对 $2$ 进行 $1$ 次方运算。

$f' (2) = 2 {(2)}^{4} + 20 {(2)}^{3} + 48 {(2)}^{2}$

解题步骤 10.5.2.1.1.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f' (2) = 2^{1 + 4} + 20 {(2)}^{3} + 48 {(2)}^{2}$

解题步骤 10.5.2.1.1.2

将 $1$ 和 $4$ 相加。

$f' (2) = 2^{5} + 20 {(2)}^{3} + 48 {(2)}^{2}$

解题步骤 10.5.2.1.2

对 $2$ 进行 $5$ 次方运算。

$f' (2) = 32 + 20 {(2)}^{3} + 48 {(2)}^{2}$

解题步骤 10.5.2.1.3

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$f' (2) = 32 + 20 \cdot 8 + 48 {(2)}^{2}$

解题步骤 10.5.2.1.4

将 $20$ 乘以 $8$ 。

$f' (2) = 32 + 160 + 48 {(2)}^{2}$

解题步骤 10.5.2.1.5

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (2) = 32 + 160 + 48 \cdot 4$

解题步骤 10.5.2.1.6

将 $48$ 乘以 $4$ 。

$f' (2) = 32 + 160 + 192$

解题步骤 10.5.2.2

通过加上各数进行化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 10.5.2.2.1

将 $32$ 和 $160$ 相加。

$f' (2) = 192 + 192$

解题步骤 10.5.2.2.2

将 $192$ 和 $192$ 相加。

$f' (2) = 384$

解题步骤 10.5.2.3

最终答案为 $384$ 。

$384$

解题步骤 10.6

由于一阶导数在 $x = - 6$ 周围从正号变为负号，因此 $x = - 6$ 是极大值。

$x = - 6$ 是一个极大值

解题步骤 10.7

由于一阶导数在 $x = - 4$ 周围从负号变为正号，因此 $x = - 4$ 是极小值。

$x = - 4$ 是一个极小值

解题步骤 10.8

由于一阶导数在 $x = 0$ 周围没有改变符号，因此这不是极大值或极小值。

不存在极大值或极小值

解题步骤 10.9

这些是 $f (x) = \frac{2}{5} x^{5} + 5 x^{4} + 16 x^{3} - 15$ 的局部极值。

$x = - 6$ 是一个极大值

$x = - 4$ 是一个极小值

$x = - 6$ 是一个极大值

$x = - 4$ 是一个极小值

解题步骤 11

微积分学 示例

微积分学示例