微积分学示例

$\frac{2 (x^{2} - 9)}{x^{2} - 4}$

解题步骤 1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{2 (x^{2} - 9)}{x^{2} - 4}$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} - 9}{x^{2} - 4}]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} - 9}{x^{2} - 4}]$

解题步骤 2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x^{2} - 9$ 且 $g (x) = x^{2} - 4$ 。

$2 \frac{(x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{2} - 9] - (x^{2} - 9) \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

解题步骤 3

求微分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1

根据加法法则， $x^{2} - 9$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9]$ 。

$2 \frac{(x^{2} - 4) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9]) - (x^{2} - 9) \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 \frac{(x^{2} - 4) (2 x + \frac{d}{d x} [- 9]) - (x^{2} - 9) \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

解题步骤 3.3

因为 $- 9$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 9$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$2 \frac{(x^{2} - 4) (2 x + 0) - (x^{2} - 9) \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

解题步骤 3.4

化简表达式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.4.1

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$2 \frac{(x^{2} - 4) (2 x) - (x^{2} - 9) \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

解题步骤 3.4.2

将 $2$ 移到 $x^{2} - 4$ 的左侧。

$2 \frac{2 \cdot (x^{2} - 4) x - (x^{2} - 9) \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

解题步骤 3.5

根据加法法则， $x^{2} - 4$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ 。

$2 \frac{2 (x^{2} - 4) x - (x^{2} - 9) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4])}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

解题步骤 3.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 \frac{2 (x^{2} - 4) x - (x^{2} - 9) (2 x + \frac{d}{d x} [- 4])}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

解题步骤 3.7

因为 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$2 \frac{2 (x^{2} - 4) x - (x^{2} - 9) (2 x + 0)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

解题步骤 3.8

合并分数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.8.1

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$2 \frac{2 (x^{2} - 4) x - (x^{2} - 9) (2 x)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

解题步骤 3.8.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$2 \frac{2 (x^{2} - 4) x - 2 (x^{2} - 9) x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

解题步骤 3.8.3

组合 $2$ 和 $\frac{2 (x^{2} - 4) x - 2 (x^{2} - 9) x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$ 。

$\frac{2 (2 (x^{2} - 4) x - 2 (x^{2} - 9) x)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

解题步骤 4

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1

运用分配律。

$\frac{2 ((2 x^{2} + 2 \cdot - 4) x - 2 (x^{2} - 9) x)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

解题步骤 4.2

运用分配律。

$\frac{2 (2 x^{2} x + 2 \cdot - 4 x - 2 (x^{2} - 9) x)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

解题步骤 4.3

运用分配律。

$\frac{2 (2 x^{2} x + 2 \cdot - 4 x + (- 2 x^{2} - 2 \cdot - 9) x)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

解题步骤 4.4

运用分配律。

$\frac{2 (2 x^{2} x + 2 \cdot - 4 x - 2 x^{2} x - 2 \cdot - 9 x)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

解题步骤 4.5

运用分配律。

$\frac{2 (2 x^{2} x) + 2 (2 \cdot - 4 x) + 2 (- 2 x^{2} x) + 2 (- 2 \cdot - 9 x)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

解题步骤 4.6

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.6.1

合并 $2 (2 x^{2} x) + 2 (2 \cdot - 4 x) + 2 (- 2 x^{2} x) + 2 (- 2 \cdot - 9 x)$ 中相反的项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.6.1.1

按照 $2 (2 x^{2} x)$ 和 $2 (- 2 x^{2} x)$ 重新排列因数。

$\frac{2 \cdot 2 x^{2} x + 2 (2 \cdot - 4 x) - 2 \cdot 2 x^{2} x + 2 (- 2 \cdot - 9 x)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

解题步骤 4.6.1.2

从 $2 \cdot 2 x^{2} x$ 中减去 $2 \cdot 2 x^{2} x$ 。

$\frac{2 (2 \cdot - 4 x) + 0 + 2 (- 2 \cdot - 9 x)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

解题步骤 4.6.1.3

将 $2 (2 \cdot - 4 x)$ 和 $0$ 相加。

$\frac{2 (2 \cdot - 4 x) + 2 (- 2 \cdot - 9 x)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

解题步骤 4.6.2

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.6.2.1

将 $2$ 乘以 $- 4$ 。

$\frac{2 (- 8 x) + 2 (- 2 \cdot - 9 x)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

解题步骤 4.6.2.2

将 $- 8$ 乘以 $2$ 。

$\frac{- 16 x + 2 (- 2 \cdot - 9 x)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

解题步骤 4.6.2.3

将 $- 2$ 乘以 $- 9$ 。

$\frac{- 16 x + 2 (18 x)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

解题步骤 4.6.2.4

将 $18$ 乘以 $2$ 。

$\frac{- 16 x + 36 x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

解题步骤 4.6.3

将 $- 16 x$ 和 $36 x$ 相加。

$\frac{20 x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

解题步骤 4.7

化简分母。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.7.1

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$\frac{20 x}{{(x^{2} - 2^{2})}^{2}}$

解题步骤 4.7.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 2$ 。

$\frac{20 x}{{((x + 2) (x - 2))}^{2}}$

解题步骤 4.7.3

对 $(x + 2) (x - 2)$ 运用乘积法则。

$\frac{20 x}{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$

微积分学 示例

微积分学示例