微积分学示例

$\int (\frac{x - 8}{x + 12}) d x$

解题步骤 1

去掉圆括号。

$\int \frac{x - 8}{x + 12} d x$

解题步骤 2

用 $x - 8$ 除以 $x + 12$ 。

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解题步骤 2.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$x$

$12$

$x$

$8$

解题步骤 2.2

将被除数中的最高阶项 $x$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

					$1$
	$x$	+	$12$		$x$	-	$8$

解题步骤 2.3

将新的商式项乘以除数。

				$1$
$x$	+	$12$		$x$	-	$8$
			+	$x$	+	$12$

解题步骤 2.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $x + 12$ 中的所有符号

				$1$
$x$	+	$12$		$x$	-	$8$
			-	$x$	-	$12$

解题步骤 2.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$1$
$x$	+	$12$		$x$	-	$8$
			-	$x$	-	$12$
					-	$20$

解题步骤 2.6

最终答案为商加上余数除以除数。

$\int 1 - \frac{20}{x + 12} d x$

解题步骤 3

将单个积分拆分为多个积分。

$\int d x + \int - \frac{20}{x + 12} d x$

解题步骤 4

应用常数不变法则。

$x + C + \int - \frac{20}{x + 12} d x$

解题步骤 5

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$x + C - \int \frac{20}{x + 12} d x$

解题步骤 6

由于 $20$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $20$ 移到积分外。

$x + C - (20 \int \frac{1}{x + 12} d x)$

解题步骤 7

将 $20$ 乘以 $- 1$ 。

$x + C - 20 \int \frac{1}{x + 12} d x$

解题步骤 8

使 $u = x + 12$ 。然后使 $d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 8.1

设 $u = x + 12$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 8.1.1

对 $x + 12$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x + 12]$

解题步骤 8.1.2

根据加法法则， $x + 12$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [12]$ 。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [12]$

解题步骤 8.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d x} [12]$

解题步骤 8.1.4

因为 $12$ 对于 $x$ 是常数，所以 $12$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$1 + 0$

解题步骤 8.1.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$1$

解题步骤 8.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$x + C - 20 \int \frac{1}{u} d u$

解题步骤 9

$\frac{1}{u}$ 对 $u$ 的积分为 $\ln (| u |)$ 。

$x + C - 20 (\ln (| u |) + C)$

解题步骤 10

化简。

$x - 20 \ln (| u |) + C$

解题步骤 11

使用 $x + 12$ 替换所有出现的 $u$ 。

$x - 20 \ln (| x + 12 |) + C$

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