微积分学示例

$\int_{1}^{4} \frac{\sqrt{y} - y}{y^{2}} d y$

解题步骤 1

化简。

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解题步骤 1.1

化简分子。

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解题步骤 1.1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{y}$ 重写成 $y^{\frac{1}{2}}$ 。

$\int_{1}^{4} \frac{y^{\frac{1}{2}} - y}{y^{2}} d y$

解题步骤 1.1.2

从 $y^{\frac{1}{2}} - y$ 中分解出因数 $y^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 1.1.2.1

乘以 $1$ 。

$\int_{1}^{4} \frac{y^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - y}{y^{2}} d y$

解题步骤 1.1.2.2

从 $- y$ 中分解出因数 $y^{\frac{1}{2}}$ 。

$\int_{1}^{4} \frac{y^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + y^{\frac{1}{2}} (- y^{\frac{1}{2}})}{y^{2}} d y$

解题步骤 1.1.2.3

从 $y^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + y^{\frac{1}{2}} (- y^{\frac{1}{2}})$ 中分解出因数 $y^{\frac{1}{2}}$ 。

$\int_{1}^{4} \frac{y^{\frac{1}{2}} (1 - y^{\frac{1}{2}})}{y^{2}} d y$

解题步骤 1.2

使用负指数规则 $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ 将 $y^{\frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$\int_{1}^{4} \frac{1 - y^{\frac{1}{2}}}{y^{2} y^{- \frac{1}{2}}} d y$

解题步骤 1.3

通过指数相加将 $y^{2}$ 乘以 $y^{- \frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 1.3.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int_{1}^{4} \frac{1 - y^{\frac{1}{2}}}{y^{2 - \frac{1}{2}}} d y$

解题步骤 1.3.2

要将 $2$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\int_{1}^{4} \frac{1 - y^{\frac{1}{2}}}{y^{2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} d y$

解题步骤 1.3.3

组合 $2$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\int_{1}^{4} \frac{1 - y^{\frac{1}{2}}}{y^{\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}}} d y$

解题步骤 1.3.4

在公分母上合并分子。

$\int_{1}^{4} \frac{1 - y^{\frac{1}{2}}}{y^{\frac{2 \cdot 2 - 1}{2}}} d y$

解题步骤 1.3.5

化简分子。

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解题步骤 1.3.5.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\int_{1}^{4} \frac{1 - y^{\frac{1}{2}}}{y^{\frac{4 - 1}{2}}} d y$

解题步骤 1.3.5.2

从 $4$ 中减去 $1$ 。

$\int_{1}^{4} \frac{1 - y^{\frac{1}{2}}}{y^{\frac{3}{2}}} d y$

解题步骤 2

通过将 $y^{\frac{3}{2}}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$\int_{1}^{4} (1 - y^{\frac{1}{2}}) {(y^{\frac{3}{2}})}^{- 1} d y$

解题步骤 3

将 ${(y^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\int_{1}^{4} (1 - y^{\frac{1}{2}}) y^{\frac{3}{2} \cdot - 1} d y$

解题步骤 3.2

乘以 $\frac{3}{2} \cdot - 1$ 。

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解题步骤 3.2.1

组合 $\frac{3}{2}$ 和 $- 1$ 。

$\int_{1}^{4} (1 - y^{\frac{1}{2}}) y^{\frac{3 \cdot - 1}{2}} d y$

解题步骤 3.2.2

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$\int_{1}^{4} (1 - y^{\frac{1}{2}}) y^{\frac{- 3}{2}} d y$

解题步骤 3.3

将负号移到分数的前面。

$\int_{1}^{4} (1 - y^{\frac{1}{2}}) y^{- \frac{3}{2}} d y$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

运用分配律。

$\int_{1}^{4} 1 y^{- \frac{3}{2}} - y^{\frac{1}{2}} y^{- \frac{3}{2}} d y$

解题步骤 4.2

将 $y^{- \frac{3}{2}}$ 乘以 $1$ 。

$\int_{1}^{4} y^{- \frac{3}{2}} - y^{\frac{1}{2}} y^{- \frac{3}{2}} d y$

解题步骤 4.3

提取负因数。

$\int_{1}^{4} y^{- \frac{3}{2}} - (y^{\frac{1}{2}} y^{- \frac{3}{2}}) d y$

解题步骤 4.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int_{1}^{4} y^{- \frac{3}{2}} - y^{\frac{1}{2} - \frac{3}{2}} d y$

解题步骤 4.5

在公分母上合并分子。

$\int_{1}^{4} y^{- \frac{3}{2}} - y^{\frac{1 - 3}{2}} d y$

解题步骤 4.6

从 $1$ 中减去 $3$ 。

$\int_{1}^{4} y^{- \frac{3}{2}} - y^{\frac{- 2}{2}} d y$

解题步骤 4.7

约去 $- 2$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.7.1

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\int_{1}^{4} y^{- \frac{3}{2}} - y^{\frac{2 \cdot - 1}{2}} d y$

解题步骤 4.7.2

约去公因数。

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解题步骤 4.7.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\int_{1}^{4} y^{- \frac{3}{2}} - y^{\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)}} d y$

解题步骤 4.7.2.2

约去公因数。

$\int_{1}^{4} y^{- \frac{3}{2}} - y^{\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}} d y$

解题步骤 4.7.2.3

重写表达式。

$\int_{1}^{4} y^{- \frac{3}{2}} - y^{\frac{- 1}{1}} d y$

解题步骤 4.7.2.4

用 $- 1$ 除以 $1$ 。

$\int_{1}^{4} y^{- \frac{3}{2}} - y^{- 1} d y$

解题步骤 4.8

将 $y^{- \frac{3}{2}}$ 和 $- y^{- 1}$ 重新排序。

$\int_{1}^{4} - y^{- 1} + y^{- \frac{3}{2}} d y$

解题步骤 5

将单个积分拆分为多个积分。

$\int_{1}^{4} - y^{- 1} d y + \int_{1}^{4} y^{- \frac{3}{2}} d y$

解题步骤 6

由于 $- 1$ 对于 $y$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$- \int_{1}^{4} y^{- 1} d y + \int_{1}^{4} y^{- \frac{3}{2}} d y$

解题步骤 7

$y^{- 1}$ 对 $y$ 的积分为 $\ln (| y |)$ 。

$- (\ln (| y |)]_{1}^{4}) + \int_{1}^{4} y^{- \frac{3}{2}} d y$

解题步骤 8

根据幂法则， $y^{- \frac{3}{2}}$ 对 $y$ 的积分是 $- 2 y^{- \frac{1}{2}}$ 。

$- (\ln (| y |)]_{1}^{4}) + - 2 y^{- \frac{1}{2}}]_{1}^{4}$

解题步骤 9

化简答案。

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解题步骤 9.1

代入并化简。

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解题步骤 9.1.1

计算 $\ln (| y |)$ 在 $4$ 处和在 $1$ 处的值。

$- ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 1 |)) + - 2 y^{- \frac{1}{2}}]_{1}^{4}$

解题步骤 9.1.2

计算 $- 2 y^{- \frac{1}{2}}$ 在 $4$ 处和在 $1$ 处的值。

$- (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |)) + - 2 \cdot 4^{- \frac{1}{2}} + 2 \cdot 1^{- \frac{1}{2}}$

解题步骤 9.1.3

化简。

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解题步骤 9.1.3.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$- (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |)) - 2 \cdot \frac{1}{4^{\frac{1}{2}}} + 2 \cdot 1^{- \frac{1}{2}}$

解题步骤 9.1.3.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$- (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |)) - 2 \cdot \frac{1}{{(2^{2})}^{\frac{1}{2}}} + 2 \cdot 1^{- \frac{1}{2}}$

解题步骤 9.1.3.3

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |)) - 2 \cdot \frac{1}{2^{2 (\frac{1}{2})}} + 2 \cdot 1^{- \frac{1}{2}}$

解题步骤 9.1.3.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 9.1.3.4.1

约去公因数。

$- (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |)) - 2 \cdot \frac{1}{2^{2 (\frac{1}{2})}} + 2 \cdot 1^{- \frac{1}{2}}$

解题步骤 9.1.3.4.2

重写表达式。

$- (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |)) - 2 \cdot \frac{1}{2^{1}} + 2 \cdot 1^{- \frac{1}{2}}$

解题步骤 9.1.3.5

计算指数。

$- (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |)) - 2 \cdot \frac{1}{2} + 2 \cdot 1^{- \frac{1}{2}}$

解题步骤 9.1.3.6

组合 $- 2$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$- (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |)) + \frac{- 2}{2} + 2 \cdot 1^{- \frac{1}{2}}$

解题步骤 9.1.3.7

约去 $- 2$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 9.1.3.7.1

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$- (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |)) + \frac{2 \cdot - 1}{2} + 2 \cdot 1^{- \frac{1}{2}}$

解题步骤 9.1.3.7.2

约去公因数。

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解题步骤 9.1.3.7.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$- (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |)) + \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} + 2 \cdot 1^{- \frac{1}{2}}$

解题步骤 9.1.3.7.2.2

约去公因数。

$- (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |)) + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} + 2 \cdot 1^{- \frac{1}{2}}$

解题步骤 9.1.3.7.2.3

重写表达式。

$- (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |)) + \frac{- 1}{1} + 2 \cdot 1^{- \frac{1}{2}}$

解题步骤 9.1.3.7.2.4

用 $- 1$ 除以 $1$ 。

$- (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |)) - 1 + 2 \cdot 1^{- \frac{1}{2}}$

解题步骤 9.1.3.8

一的任意次幂都为一。

$- (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |)) - 1 + 2 \cdot 1$

解题步骤 9.1.3.9

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$- (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |)) - 1 + 2$

解题步骤 9.1.3.10

将 $- 1$ 和 $2$ 相加。

$- (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |)) + 1$

解题步骤 9.2

使用对数的商数性质，即 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$- \ln (\frac{| 4 |}{| 1 |}) + 1$

解题步骤 9.3

化简。

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解题步骤 9.3.1

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $4$ 之间的距离为 $4$ 。

$- \ln (\frac{4}{| 1 |}) + 1$

解题步骤 9.3.2

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$- \ln (\frac{4}{1}) + 1$

解题步骤 9.3.3

用 $4$ 除以 $1$ 。

$- \ln (4) + 1$

解题步骤 10

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$- \ln (4) + 1$

小数形式：

$- 0.38629436 \dots$

解题步骤 11

微积分学 示例

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