微积分学示例

$f (x) = \frac{4}{x^{5}} - {(1 - 2 x)}^{3}$

解题步骤 1

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 2

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int \frac{4}{x^{5}} - {(1 - 2 x)}^{3} d x$

解题步骤 3

将单个积分拆分为多个积分。

$\int \frac{4}{x^{5}} d x + \int - {(1 - 2 x)}^{3} d x$

解题步骤 4

由于 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $4$ 移到积分外。

$4 \int \frac{1}{x^{5}} d x + \int - {(1 - 2 x)}^{3} d x$

解题步骤 5

应用指数的基本规则。

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解题步骤 5.1

通过将 $x^{5}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$4 \int {(x^{5})}^{- 1} d x + \int - {(1 - 2 x)}^{3} d x$

解题步骤 5.2

将 ${(x^{5})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 5.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$4 \int x^{5 \cdot - 1} d x + \int - {(1 - 2 x)}^{3} d x$

解题步骤 5.2.2

将 $5$ 乘以 $- 1$ 。

$4 \int x^{- 5} d x + \int - {(1 - 2 x)}^{3} d x$

解题步骤 6

根据幂法则， $x^{- 5}$ 对 $x$ 的积分是 $- \frac{1}{4} x^{- 4}$ 。

$4 (- \frac{1}{4} x^{- 4} + C) + \int - {(1 - 2 x)}^{3} d x$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

组合 $x^{- 4}$ 和 $\frac{1}{4}$ 。

$4 (- \frac{x^{- 4}}{4} + C) + \int - {(1 - 2 x)}^{3} d x$

解题步骤 7.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- 4}$ 移动到分母。

$4 (- \frac{1}{4 x^{4}} + C) + \int - {(1 - 2 x)}^{3} d x$

解题步骤 8

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$4 (- \frac{1}{4 x^{4}} + C) - \int {(1 - 2 x)}^{3} d x$

解题步骤 9

使 $u = 1 - 2 x$ 。然后使 $d u = - 2 d x$ ，以便 $- \frac{1}{2} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 9.1

设 $u = 1 - 2 x$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 9.1.1

对 $1 - 2 x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [1 - 2 x]$

解题步骤 9.1.2

求微分。

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解题步骤 9.1.2.1

根据加法法则， $1 - 2 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ 。

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

解题步骤 9.1.2.2

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

解题步骤 9.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ 。

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解题步骤 9.1.3.1

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$0 - 2 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 9.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$0 - 2 \cdot 1$

解题步骤 9.1.3.3

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$0 - 2$

解题步骤 9.1.4

从 $0$ 中减去 $2$ 。

$- 2$

解题步骤 9.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$4 (- \frac{1}{4 x^{4}} + C) - \int u^{3} \frac{1}{- 2} d u$

解题步骤 10

化简。

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解题步骤 10.1

将负号移到分数的前面。

$4 (- \frac{1}{4 x^{4}} + C) - \int u^{3} (- \frac{1}{2}) d u$

解题步骤 10.2

组合 $u^{3}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$4 (- \frac{1}{4 x^{4}} + C) - \int - \frac{u^{3}}{2} d u$

解题步骤 11

由于 $- 1$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$4 (- \frac{1}{4 x^{4}} + C) - - \int \frac{u^{3}}{2} d u$

解题步骤 12

化简。

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解题步骤 12.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$4 (- \frac{1}{4 x^{4}} + C) + 1 \int \frac{u^{3}}{2} d u$

解题步骤 12.2

将 $\int \frac{u^{3}}{2} d u$ 乘以 $1$ 。

$4 (- \frac{1}{4 x^{4}} + C) + \int \frac{u^{3}}{2} d u$

解题步骤 13

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$4 (- \frac{1}{4 x^{4}} + C) + \frac{1}{2} \int u^{3} d u$

解题步骤 14

根据幂法则， $u^{3}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{1}{4} u^{4}$ 。

$4 (- \frac{1}{4 x^{4}} + C) + \frac{1}{2} (\frac{1}{4} u^{4} + C)$

解题步骤 15

化简。

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解题步骤 15.1

化简。

$\frac{- 1}{x^{4}} + \frac{1}{2} (\frac{1}{4} u^{4}) + C$

解题步骤 15.2

化简。

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解题步骤 15.2.1

将负号移到分数的前面。

$- \frac{1}{x^{4}} + \frac{1}{2} (\frac{1}{4} u^{4}) + C$

解题步骤 15.2.2

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $u^{4}$ 。

$- \frac{1}{x^{4}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{u^{4}}{4} + C$

解题步骤 15.2.3

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{u^{4}}{4}$ 。

$- \frac{1}{x^{4}} + \frac{u^{4}}{2 \cdot 4} + C$

解题步骤 15.2.4

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$- \frac{1}{x^{4}} + \frac{u^{4}}{8} + C$

解题步骤 16

使用 $1 - 2 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- \frac{1}{x^{4}} + \frac{{(1 - 2 x)}^{4}}{8} + C$

解题步骤 17

重新排序项。

$- \frac{1}{x^{4}} + \frac{1}{8} {(1 - 2 x)}^{4} + C$

解题步骤 18

答案是函数 $f (x) = \frac{4}{x^{5}} - {(1 - 2 x)}^{3}$ 的不定积分。

$F (x) =$ $- \frac{1}{x^{4}} + \frac{1}{8} {(1 - 2 x)}^{4} + C$

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