微积分学示例

$y = {(1 - x)}^{2} \sinh (2 x)$

解题步骤 1

将 ${(1 - x)}^{2}$ 重写为 $(1 - x) (1 - x)$ 。

$\frac{d}{d x} [(1 - x) (1 - x) \sinh (2 x)]$

解题步骤 2

使用 FOIL 方法展开 $(1 - x) (1 - x)$ 。

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解题步骤 2.1

运用分配律。

$\frac{d}{d x} [(1 (1 - x) - x (1 - x)) \sinh (2 x)]$

解题步骤 2.2

运用分配律。

$\frac{d}{d x} [(1 \cdot 1 + 1 (- x) - x (1 - x)) \sinh (2 x)]$

解题步骤 2.3

运用分配律。

$\frac{d}{d x} [(1 \cdot 1 + 1 (- x) - x \cdot 1 - x (- x)) \sinh (2 x)]$

解题步骤 3

化简并合并同类项。

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解题步骤 3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.1.1

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{d}{d x} [(1 + 1 (- x) - x \cdot 1 - x (- x)) \sinh (2 x)]$

解题步骤 3.1.2

将 $- x$ 乘以 $1$ 。

$\frac{d}{d x} [(1 - x - x \cdot 1 - x (- x)) \sinh (2 x)]$

解题步骤 3.1.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{d}{d x} [(1 - x - x - x (- x)) \sinh (2 x)]$

解题步骤 3.1.4

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{d}{d x} [(1 - x - x - 1 \cdot - 1 x \cdot x) \sinh (2 x)]$

解题步骤 3.1.5

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 3.1.5.1

移动 $x$ 。

$\frac{d}{d x} [(1 - x - x - 1 \cdot - 1 (x \cdot x)) \sinh (2 x)]$

解题步骤 3.1.5.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{d}{d x} [(1 - x - x - 1 \cdot - 1 x^{2}) \sinh (2 x)]$

解题步骤 3.1.6

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{d}{d x} [(1 - x - x + 1 x^{2}) \sinh (2 x)]$

解题步骤 3.1.7

将 $x^{2}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{d}{d x} [(1 - x - x + x^{2}) \sinh (2 x)]$

解题步骤 3.2

从 $- x$ 中减去 $x$ 。

$\frac{d}{d x} [(1 - 2 x + x^{2}) \sinh (2 x)]$

解题步骤 4

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = 1 - 2 x + x^{2}$ 且 $g (x) = \sinh (2 x)$ 。

$(1 - 2 x + x^{2}) \frac{d}{d x} [\sinh (2 x)] + \sinh (2 x) \frac{d}{d x} [1 - 2 x + x^{2}]$

解题步骤 5

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \sinh (x)$ 且 $g (x) = 2 x$ 。

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解题步骤 5.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $2 x$ 。

$(1 - 2 x + x^{2}) (\frac{d}{d u} [\sinh (u)] \frac{d}{d x} [2 x]) + \sinh (2 x) \frac{d}{d x} [1 - 2 x + x^{2}]$

解题步骤 5.2

$\sinh (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\cosh (u)$ 。

$(1 - 2 x + x^{2}) (\cosh (u) \frac{d}{d x} [2 x]) + \sinh (2 x) \frac{d}{d x} [1 - 2 x + x^{2}]$

解题步骤 5.3

使用 $2 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$(1 - 2 x + x^{2}) (\cosh (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) + \sinh (2 x) \frac{d}{d x} [1 - 2 x + x^{2}]$

解题步骤 6

求微分。

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解题步骤 6.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$(1 - 2 x + x^{2}) \cosh (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]) + \sinh (2 x) \frac{d}{d x} [1 - 2 x + x^{2}]$

解题步骤 6.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$(1 - 2 x + x^{2}) \cosh (2 x) (2 \cdot 1) + \sinh (2 x) \frac{d}{d x} [1 - 2 x + x^{2}]$

解题步骤 6.3

化简表达式。

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解题步骤 6.3.1

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$(1 - 2 x + x^{2}) \cosh (2 x) \cdot 2 + \sinh (2 x) \frac{d}{d x} [1 - 2 x + x^{2}]$

解题步骤 6.3.2

将 $2$ 移到 $(1 - 2 x + x^{2}) \cosh (2 x)$ 的左侧。

$2 \cdot ((1 - 2 x + x^{2}) \cosh (2 x)) + \sinh (2 x) \frac{d}{d x} [1 - 2 x + x^{2}]$

解题步骤 6.4

根据加法法则， $1 - 2 x + x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$2 (1 - 2 x + x^{2}) \cosh (2 x) + \sinh (2 x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 6.5

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$2 (1 - 2 x + x^{2}) \cosh (2 x) + \sinh (2 x) (0 + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 6.6

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ 相加。

$2 (1 - 2 x + x^{2}) \cosh (2 x) + \sinh (2 x) (\frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 6.7

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$2 (1 - 2 x + x^{2}) \cosh (2 x) + \sinh (2 x) (- 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 6.8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 (1 - 2 x + x^{2}) \cosh (2 x) + \sinh (2 x) (- 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 6.9

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$2 (1 - 2 x + x^{2}) \cosh (2 x) + \sinh (2 x) (- 2 + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 6.10

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 (1 - 2 x + x^{2}) \cosh (2 x) + \sinh (2 x) (- 2 + 2 x)$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

运用分配律。

$(2 \cdot 1 + 2 (- 2 x) + 2 x^{2}) \cosh (2 x) + \sinh (2 x) (- 2 + 2 x)$

解题步骤 7.2

运用分配律。

$2 \cdot 1 \cosh (2 x) + 2 (- 2 x) \cosh (2 x) + 2 x^{2} \cosh (2 x) + \sinh (2 x) (- 2 + 2 x)$

解题步骤 7.3

运用分配律。

$2 \cdot 1 \cosh (2 x) + 2 (- 2 x) \cosh (2 x) + 2 x^{2} \cosh (2 x) + \sinh (2 x) \cdot - 2 + \sinh (2 x) (2 x)$

解题步骤 7.4

合并项。

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解题步骤 7.4.1

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2 \cosh (2 x) + 2 (- 2 x) \cosh (2 x) + 2 x^{2} \cosh (2 x) + \sinh (2 x) \cdot - 2 + \sinh (2 x) (2 x)$

解题步骤 7.4.2

将 $- 2$ 乘以 $2$ 。

$2 \cosh (2 x) - 4 x \cosh (2 x) + 2 x^{2} \cosh (2 x) + \sinh (2 x) \cdot - 2 + \sinh (2 x) (2 x)$

解题步骤 7.4.3

将 $- 2$ 移到 $\sinh (2 x)$ 的左侧。

$2 \cosh (2 x) - 4 x \cosh (2 x) + 2 x^{2} \cosh (2 x) - 2 \sinh (2 x) + \sinh (2 x) (2 x)$

解题步骤 7.5

重新排序项。

$- 4 x \cosh (2 x) + 2 x^{2} \cosh (2 x) + 2 x \sinh (2 x) + 2 \cosh (2 x) - 2 \sinh (2 x)$

微积分学 示例

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