微积分学示例

$\int_{2}^{3} (t^{2} - 9) (4 - t^{2}) d t$

解题步骤 1

化简。

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解题步骤 1.1

运用分配律。

$\int_{2}^{3} t^{2} (4 - t^{2}) - 9 (4 - t^{2}) d t$

解题步骤 1.2

运用分配律。

$\int_{2}^{3} t^{2} \cdot 4 + t^{2} (- t^{2}) - 9 (4 - t^{2}) d t$

解题步骤 1.3

运用分配律。

$\int_{2}^{3} t^{2} \cdot 4 + t^{2} (- t^{2}) - 9 \cdot 4 - 9 (- t^{2}) d t$

解题步骤 1.4

将 $t^{2}$ 和 $4$ 重新排序。

$\int_{2}^{3} 4 \cdot t^{2} + t^{2} (- t^{2}) - 9 \cdot 4 - 9 (- t^{2}) d t$

解题步骤 1.5

将 $t^{2}$ 和 $- 1$ 重新排序。

$\int_{2}^{3} 4 \cdot t^{2} - 1 \cdot t^{2} t^{2} - 9 \cdot 4 - 9 (- t^{2}) d t$

解题步骤 1.6

提取负因数。

$\int_{2}^{3} 4 t^{2} - (t^{2} t^{2}) - 9 \cdot 4 - 9 \cdot - 1 t^{2} d t$

解题步骤 1.7

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int_{2}^{3} 4 t^{2} - t^{2 + 2} - 9 \cdot 4 - 9 \cdot - 1 t^{2} d t$

解题步骤 1.8

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$\int_{2}^{3} 4 t^{2} - t^{4} - 9 \cdot 4 - 9 \cdot - 1 t^{2} d t$

解题步骤 1.9

将 $- 9$ 乘以 $4$ 。

$\int_{2}^{3} 4 t^{2} - t^{4} - 36 - 9 \cdot - 1 t^{2} d t$

解题步骤 1.10

将 $- 9$ 乘以 $- 1$ 。

$\int_{2}^{3} 4 t^{2} - t^{4} - 36 + 9 t^{2} d t$

解题步骤 1.11

将 $4 t^{2}$ 和 $- t^{4}$ 重新排序。

$\int_{2}^{3} - t^{4} + 4 t^{2} - 36 + 9 t^{2} d t$

解题步骤 1.12

将 $- 36$ 和 $9 t^{2}$ 重新排序。

$\int_{2}^{3} - t^{4} + 4 t^{2} + 9 t^{2} - 36 d t$

解题步骤 1.13

移动 $4 t^{2}$ 。

$\int_{2}^{3} - t^{4} + 9 t^{2} + 4 t^{2} - 36 d t$

解题步骤 1.14

将 $9 t^{2}$ 和 $4 t^{2}$ 相加。

$\int_{2}^{3} - t^{4} + 13 t^{2} - 36 d t$

解题步骤 2

将单个积分拆分为多个积分。

$\int_{2}^{3} - t^{4} d t + \int_{2}^{3} 13 t^{2} d t + \int_{2}^{3} - 36 d t$

解题步骤 3

由于 $- 1$ 对于 $t$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$- \int_{2}^{3} t^{4} d t + \int_{2}^{3} 13 t^{2} d t + \int_{2}^{3} - 36 d t$

解题步骤 4

根据幂法则， $t^{4}$ 对 $t$ 的积分是 $\frac{1}{5} t^{5}$ 。

$- (\frac{1}{5} t^{5}]_{2}^{3}) + \int_{2}^{3} 13 t^{2} d t + \int_{2}^{3} - 36 d t$

解题步骤 5

组合 $\frac{1}{5}$ 和 $t^{5}$ 。

$- (\frac{t^{5}}{5}]_{2}^{3}) + \int_{2}^{3} 13 t^{2} d t + \int_{2}^{3} - 36 d t$

解题步骤 6

由于 $13$ 对于 $t$ 是常数，所以将 $13$ 移到积分外。

$- (\frac{t^{5}}{5}]_{2}^{3}) + 13 \int_{2}^{3} t^{2} d t + \int_{2}^{3} - 36 d t$

解题步骤 7

根据幂法则， $t^{2}$ 对 $t$ 的积分是 $\frac{1}{3} t^{3}$ 。

$- (\frac{t^{5}}{5}]_{2}^{3}) + 13 (\frac{1}{3} t^{3}]_{2}^{3}) + \int_{2}^{3} - 36 d t$

解题步骤 8

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $t^{3}$ 。

$- (\frac{t^{5}}{5}]_{2}^{3}) + 13 (\frac{t^{3}}{3}]_{2}^{3}) + \int_{2}^{3} - 36 d t$

解题步骤 9

应用常数不变法则。

$- (\frac{t^{5}}{5}]_{2}^{3}) + 13 (\frac{t^{3}}{3}]_{2}^{3}) + - 36 t]_{2}^{3}$

解题步骤 10

代入并化简。

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解题步骤 10.1

计算 $\frac{t^{5}}{5}$ 在 $3$ 处和在 $2$ 处的值。

$- ((\frac{3^{5}}{5}) - \frac{2^{5}}{5}) + 13 (\frac{t^{3}}{3}]_{2}^{3}) + - 36 t]_{2}^{3}$

解题步骤 10.2

计算 $\frac{t^{3}}{3}$ 在 $3$ 处和在 $2$ 处的值。

$- (\frac{3^{5}}{5} - \frac{2^{5}}{5}) + 13 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{2^{3}}{3}) + - 36 t]_{2}^{3}$

解题步骤 10.3

计算 $- 36 t$ 在 $3$ 处和在 $2$ 处的值。

$- (\frac{3^{5}}{5} - \frac{2^{5}}{5}) + 13 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{2^{3}}{3}) + (- 36 \cdot 3) + 36 \cdot 2$

解题步骤 10.4

化简。

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解题步骤 10.4.1

对 $3$ 进行 $5$ 次方运算。

$- (\frac{243}{5} - \frac{2^{5}}{5}) + 13 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{2^{3}}{3}) + (- 36 \cdot 3) + 36 \cdot 2$

解题步骤 10.4.2

对 $2$ 进行 $5$ 次方运算。

$- (\frac{243}{5} - \frac{32}{5}) + 13 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{2^{3}}{3}) + (- 36 \cdot 3) + 36 \cdot 2$

解题步骤 10.4.3

在公分母上合并分子。

$- \frac{243 - 32}{5} + 13 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{2^{3}}{3}) + (- 36 \cdot 3) + 36 \cdot 2$

解题步骤 10.4.4

从 $243$ 中减去 $32$ 。

$- \frac{211}{5} + 13 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{2^{3}}{3}) + (- 36 \cdot 3) + 36 \cdot 2$

解题步骤 10.4.5

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$- \frac{211}{5} + 13 (\frac{27}{3} - \frac{2^{3}}{3}) + (- 36 \cdot 3) + 36 \cdot 2$

解题步骤 10.4.6

约去 $27$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 10.4.6.1

从 $27$ 中分解出因数 $3$ 。

$- \frac{211}{5} + 13 (\frac{3 \cdot 9}{3} - \frac{2^{3}}{3}) + (- 36 \cdot 3) + 36 \cdot 2$

解题步骤 10.4.6.2

约去公因数。

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解题步骤 10.4.6.2.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$- \frac{211}{5} + 13 (\frac{3 \cdot 9}{3 (1)} - \frac{2^{3}}{3}) + (- 36 \cdot 3) + 36 \cdot 2$

解题步骤 10.4.6.2.2

约去公因数。

$- \frac{211}{5} + 13 (\frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 1} - \frac{2^{3}}{3}) + (- 36 \cdot 3) + 36 \cdot 2$

解题步骤 10.4.6.2.3

重写表达式。

$- \frac{211}{5} + 13 (\frac{9}{1} - \frac{2^{3}}{3}) + (- 36 \cdot 3) + 36 \cdot 2$

解题步骤 10.4.6.2.4

用 $9$ 除以 $1$ 。

$- \frac{211}{5} + 13 (9 - \frac{2^{3}}{3}) + (- 36 \cdot 3) + 36 \cdot 2$

解题步骤 10.4.7

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$- \frac{211}{5} + 13 (9 - \frac{8}{3}) + (- 36 \cdot 3) + 36 \cdot 2$

解题步骤 10.4.8

要将 $9$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$- \frac{211}{5} + 13 (9 \cdot \frac{3}{3} - \frac{8}{3}) + (- 36 \cdot 3) + 36 \cdot 2$

解题步骤 10.4.9

组合 $9$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$- \frac{211}{5} + 13 (\frac{9 \cdot 3}{3} - \frac{8}{3}) + (- 36 \cdot 3) + 36 \cdot 2$

解题步骤 10.4.10

在公分母上合并分子。

$- \frac{211}{5} + 13 \frac{9 \cdot 3 - 8}{3} + (- 36 \cdot 3) + 36 \cdot 2$

解题步骤 10.4.11

化简分子。

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解题步骤 10.4.11.1

将 $9$ 乘以 $3$ 。

$- \frac{211}{5} + 13 \frac{27 - 8}{3} + (- 36 \cdot 3) + 36 \cdot 2$

解题步骤 10.4.11.2

从 $27$ 中减去 $8$ 。

$- \frac{211}{5} + 13 (\frac{19}{3}) + (- 36 \cdot 3) + 36 \cdot 2$

解题步骤 10.4.12

组合 $13$ 和 $\frac{19}{3}$ 。

$- \frac{211}{5} + \frac{13 \cdot 19}{3} + (- 36 \cdot 3) + 36 \cdot 2$

解题步骤 10.4.13

将 $13$ 乘以 $19$ 。

$- \frac{211}{5} + \frac{247}{3} + (- 36 \cdot 3) + 36 \cdot 2$

解题步骤 10.4.14

要将 $- \frac{211}{5}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$- \frac{211}{5} \cdot \frac{3}{3} + \frac{247}{3} + (- 36 \cdot 3) + 36 \cdot 2$

解题步骤 10.4.15

要将 $\frac{247}{3}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{5}{5}$ 。

$- \frac{211}{5} \cdot \frac{3}{3} + \frac{247}{3} \cdot \frac{5}{5} + (- 36 \cdot 3) + 36 \cdot 2$

解题步骤 10.4.16

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $15$ 的形式。

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解题步骤 10.4.16.1

将 $\frac{211}{5}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$- \frac{211 \cdot 3}{5 \cdot 3} + \frac{247}{3} \cdot \frac{5}{5} + (- 36 \cdot 3) + 36 \cdot 2$

解题步骤 10.4.16.2

将 $5$ 乘以 $3$ 。

$- \frac{211 \cdot 3}{15} + \frac{247}{3} \cdot \frac{5}{5} + (- 36 \cdot 3) + 36 \cdot 2$

解题步骤 10.4.16.3

将 $\frac{247}{3}$ 乘以 $\frac{5}{5}$ 。

$- \frac{211 \cdot 3}{15} + \frac{247 \cdot 5}{3 \cdot 5} + (- 36 \cdot 3) + 36 \cdot 2$

解题步骤 10.4.16.4

将 $3$ 乘以 $5$ 。

$- \frac{211 \cdot 3}{15} + \frac{247 \cdot 5}{15} + (- 36 \cdot 3) + 36 \cdot 2$

解题步骤 10.4.17

在公分母上合并分子。

$\frac{- 211 \cdot 3 + 247 \cdot 5}{15} + (- 36 \cdot 3) + 36 \cdot 2$

解题步骤 10.4.18

化简分子。

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解题步骤 10.4.18.1

将 $- 211$ 乘以 $3$ 。

$\frac{- 633 + 247 \cdot 5}{15} + (- 36 \cdot 3) + 36 \cdot 2$

解题步骤 10.4.18.2

将 $247$ 乘以 $5$ 。

$\frac{- 633 + 1235}{15} + (- 36 \cdot 3) + 36 \cdot 2$

解题步骤 10.4.18.3

将 $- 633$ 和 $1235$ 相加。

$\frac{602}{15} + (- 36 \cdot 3) + 36 \cdot 2$

解题步骤 10.4.19

将 $- 36$ 乘以 $3$ 。

$\frac{602}{15} - 108 + 36 \cdot 2$

解题步骤 10.4.20

将 $36$ 乘以 $2$ 。

$\frac{602}{15} - 108 + 72$

解题步骤 10.4.21

将 $- 108$ 和 $72$ 相加。

$\frac{602}{15} - 36$

解题步骤 10.4.22

要将 $- 36$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{15}{15}$ 。

$\frac{602}{15} - 36 \cdot \frac{15}{15}$

解题步骤 10.4.23

组合 $- 36$ 和 $\frac{15}{15}$ 。

$\frac{602}{15} + \frac{- 36 \cdot 15}{15}$

解题步骤 10.4.24

在公分母上合并分子。

$\frac{602 - 36 \cdot 15}{15}$

解题步骤 10.4.25

化简分子。

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解题步骤 10.4.25.1

将 $- 36$ 乘以 $15$ 。

$\frac{602 - 540}{15}$

解题步骤 10.4.25.2

从 $602$ 中减去 $540$ 。

$\frac{62}{15}$

解题步骤 11

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{62}{15}$

小数形式：

$4.1\overline{3}$

带分数形式：

$4 \frac{2}{15}$

解题步骤 12

微积分学 示例

微积分学示例