微积分学示例

$(x + 1) (x + 2)$

解题步骤 1

将 $(x + 1) (x + 2)$ 书写为一个函数。

$f (x) = (x + 1) (x + 2)$

解题步骤 2

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 3

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int (x + 1) (x + 2) d x$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

运用分配律。

$\int x (x + 2) + 1 (x + 2) d x$

解题步骤 4.2

运用分配律。

$\int x \cdot x + x \cdot 2 + 1 (x + 2) d x$

解题步骤 4.3

运用分配律。

$\int x \cdot x + x \cdot 2 + 1 x + 1 \cdot 2 d x$

解题步骤 4.4

将 $x$ 和 $2$ 重新排序。

$\int x \cdot x + 2 \cdot x + 1 x + 1 \cdot 2 d x$

解题步骤 4.5

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int x^{1} x + 2 x + 1 x + 1 \cdot 2 d x$

解题步骤 4.6

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int x^{1} x^{1} + 2 x + 1 x + 1 \cdot 2 d x$

解题步骤 4.7

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int x^{1 + 1} + 2 x + 1 x + 1 \cdot 2 d x$

解题步骤 4.8

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\int x^{2} + 2 x + 1 x + 1 \cdot 2 d x$

解题步骤 4.9

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$\int x^{2} + 2 x + x + 1 \cdot 2 d x$

解题步骤 4.10

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\int x^{2} + 2 x + x + 2 d x$

解题步骤 4.11

将 $2 x$ 和 $x$ 相加。

$\int x^{2} + 3 x + 2 d x$

解题步骤 5

将单个积分拆分为多个积分。

$\int x^{2} d x + \int 3 x d x + \int 2 d x$

解题步骤 6

根据幂法则， $x^{2}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{3} x^{3}$ 。

$\frac{1}{3} x^{3} + C + \int 3 x d x + \int 2 d x$

解题步骤 7

由于 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $3$ 移到积分外。

$\frac{1}{3} x^{3} + C + 3 \int x d x + \int 2 d x$

解题步骤 8

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$\frac{1}{3} x^{3} + C + 3 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int 2 d x$

解题步骤 9

应用常数不变法则。

$\frac{1}{3} x^{3} + C + 3 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 2 x + C$

解题步骤 10

化简。

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解题步骤 10.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$\frac{1}{3} x^{3} + C + 3 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 2 x + C$

解题步骤 10.2

化简。

$\frac{x^{3}}{3} + \frac{3 x^{2}}{2} + 2 x + C$

解题步骤 10.3

重新排序项。

$\frac{1}{3} x^{3} + \frac{3}{2} x^{2} + 2 x + C$

解题步骤 11

答案是函数 $f (x) = (x + 1) (x + 2)$ 的不定积分。

$F (x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} + \frac{3}{2} x^{2} + 2 x + C$

微积分学 示例

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