微积分学示例

$e^{x + y} = x y$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (e^{x + y}) = \frac{d}{d x} (x y)$

解题步骤 2

对方程左边求微分。

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解题步骤 2.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = x + y$ 。

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解题步骤 2.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x + y$ 。

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x + y]$

解题步骤 2.1.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$e^{u} \frac{d}{d x} [x + y]$

解题步骤 2.1.3

使用 $x + y$ 替换所有出现的 $u$ 。

$e^{x + y} \frac{d}{d x} [x + y]$

解题步骤 2.2

求微分。

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解题步骤 2.2.1

根据加法法则， $x + y$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ 。

$e^{x + y} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y])$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$e^{x + y} (1 + \frac{d}{d x} [y])$

解题步骤 2.3

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$e^{x + y} (1 + y')$

解题步骤 3

对方程右边求微分。

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解题步骤 3.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = y$ 。

$x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 3.2

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$x y' + y \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$x y' + y \cdot 1$

解题步骤 3.4

将 $y$ 乘以 $1$ 。

$x y' + y$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$e^{x + y} (1 + y') = x y' + y$

解题步骤 5

求解 $y'$ 。

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解题步骤 5.1

化简 $e^{x + y} (1 + y')$ 。

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解题步骤 5.1.1

重写。

$0 + 0 + e^{x + y} (1 + y') = x y' + y$

解题步骤 5.1.2

通过加上各个零进行化简。

$e^{x + y} (1 + y') = x y' + y$

解题步骤 5.1.3

运用分配律。

$e^{x + y} \cdot 1 + e^{x + y} y' = x y' + y$

解题步骤 5.1.4

化简表达式。

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解题步骤 5.1.4.1

将 $e^{x + y}$ 乘以 $1$ 。

$e^{x + y} + e^{x + y} y' = x y' + y$

解题步骤 5.1.4.2

将 $e^{x + y} + e^{x + y} y'$ 中的因式重新排序。

$e^{x + y} + y' e^{x + y} = x y' + y$

解题步骤 5.2

从等式两边同时减去 $x y'$ 。

$e^{x + y} + y' e^{x + y} - x y' = y$

解题步骤 5.3

从等式两边同时减去 $e^{x + y}$ 。

$y' e^{x + y} - x y' = y - e^{x + y}$

解题步骤 5.4

从 $y' e^{x + y} - x y'$ 中分解出因数 $y'$ 。

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解题步骤 5.4.1

从 $y' e^{x + y}$ 中分解出因数 $y'$ 。

$y' (e^{x + y}) - x y' = y - e^{x + y}$

解题步骤 5.4.2

从 $- x y'$ 中分解出因数 $y'$ 。

$y' (e^{x + y}) + y' (- x) = y - e^{x + y}$

解题步骤 5.4.3

从 $y' (e^{x + y}) + y' (- x)$ 中分解出因数 $y'$ 。

$y' (e^{x + y} - x) = y - e^{x + y}$

解题步骤 5.5

将 $y' (e^{x + y} - x) = y - e^{x + y}$ 中的每一项除以 $e^{x + y} - x$ 并化简。

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解题步骤 5.5.1

将 $y' (e^{x + y} - x) = y - e^{x + y}$ 中的每一项都除以 $e^{x + y} - x$ 。

$\frac{y' (e^{x + y} - x)}{e^{x + y} - x} = \frac{y}{e^{x + y} - x} + \frac{- e^{x + y}}{e^{x + y} - x}$

解题步骤 5.5.2

化简左边。

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解题步骤 5.5.2.1

约去 $e^{x + y} - x$ 的公因数。

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解题步骤 5.5.2.1.1

约去公因数。

$\frac{y' (e^{x + y} - x)}{e^{x + y} - x} = \frac{y}{e^{x + y} - x} + \frac{- e^{x + y}}{e^{x + y} - x}$

解题步骤 5.5.2.1.2

用 $y'$ 除以 $1$ 。

$y' = \frac{y}{e^{x + y} - x} + \frac{- e^{x + y}}{e^{x + y} - x}$

解题步骤 5.5.3

化简右边。

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解题步骤 5.5.3.1

在公分母上合并分子。

$y' = \frac{y - e^{x + y}}{e^{x + y} - x}$

解题步骤 6

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y - e^{x + y}}{e^{x + y} - x}$

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