微积分学示例

$\int x \sqrt[3]{3 - 2 x} d x$

解题步骤 1

使 $u = 3 - 2 x$ 。然后使 $d u = - 2 d x$ ，以便 $- \frac{1}{2} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u = 3 - 2 x$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $3 - 2 x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [3 - 2 x]$

解题步骤 1.1.2

求微分。

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解题步骤 1.1.2.1

根据加法法则， $3 - 2 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ 。

$\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

解题步骤 1.1.2.2

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

解题步骤 1.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ 。

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解题步骤 1.1.3.1

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$0 - 2 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$0 - 2 \cdot 1$

解题步骤 1.1.3.3

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$0 - 2$

解题步骤 1.1.4

从 $0$ 中减去 $2$ 。

$- 2$

解题步骤 1.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\int (- \frac{u}{2} + \frac{3}{2}) \sqrt[3]{u} \frac{1}{- 2} d u$

解题步骤 2

化简。

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解题步骤 2.1

将负号移到分数的前面。

$\int (- \frac{u}{2} + \frac{3}{2}) \sqrt[3]{u} (- \frac{1}{2}) d u$

解题步骤 2.2

组合 $\sqrt[3]{u}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\int (- \frac{u}{2} + \frac{3}{2}) (- \frac{\sqrt[3]{u}}{2}) d u$

解题步骤 3

由于 $- 1$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$- \int (- \frac{u}{2} + \frac{3}{2}) (\frac{\sqrt[3]{u}}{2}) d u$

解题步骤 4

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{u}$ 重写成 $u^{\frac{1}{3}}$ 。

$- \int (- \frac{u}{2} + \frac{3}{2}) \frac{u^{\frac{1}{3}}}{2} d u$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

运用分配律。

$- \int - \frac{u}{2} \cdot \frac{u^{\frac{1}{3}}}{2} + \frac{3}{2} \cdot \frac{u^{\frac{1}{3}}}{2} d u$

解题步骤 5.2

组合 $- \frac{u}{2}$ 和 $\frac{u^{\frac{1}{3}}}{2}$ 。

$- \int - \frac{u \cdot u^{\frac{1}{3}}}{2 \cdot 2} + \frac{3}{2} \cdot \frac{u^{\frac{1}{3}}}{2} d u$

解题步骤 5.3

对 $u$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \int - \frac{u^{1} u^{\frac{1}{3}}}{2 \cdot 2} + \frac{3}{2} \cdot \frac{u^{\frac{1}{3}}}{2} d u$

解题步骤 5.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- \int - \frac{u^{1 + \frac{1}{3}}}{2 \cdot 2} + \frac{3}{2} \cdot \frac{u^{\frac{1}{3}}}{2} d u$

解题步骤 5.5

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$- \int - \frac{u^{\frac{3}{3} + \frac{1}{3}}}{2 \cdot 2} + \frac{3}{2} \cdot \frac{u^{\frac{1}{3}}}{2} d u$

解题步骤 5.6

在公分母上合并分子。

$- \int - \frac{u^{\frac{3 + 1}{3}}}{2 \cdot 2} + \frac{3}{2} \cdot \frac{u^{\frac{1}{3}}}{2} d u$

解题步骤 5.7

将 $3$ 和 $1$ 相加。

$- \int - \frac{u^{\frac{4}{3}}}{2 \cdot 2} + \frac{3}{2} \cdot \frac{u^{\frac{1}{3}}}{2} d u$

解题步骤 5.8

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$- \int - \frac{u^{\frac{4}{3}}}{4} + \frac{3}{2} \cdot \frac{u^{\frac{1}{3}}}{2} d u$

解题步骤 5.9

将 $\frac{3}{2}$ 乘以 $\frac{u^{\frac{1}{3}}}{2}$ 。

$- \int - \frac{u^{\frac{4}{3}}}{4} + \frac{3 u^{\frac{1}{3}}}{2 \cdot 2} d u$

解题步骤 5.10

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$- \int - \frac{u^{\frac{4}{3}}}{4} + \frac{3 u^{\frac{1}{3}}}{4} d u$

解题步骤 5.11

将 $- \frac{u^{\frac{4}{3}}}{4}$ 和 $\frac{3 u^{\frac{1}{3}}}{4}$ 重新排序。

$- \int \frac{3 u^{\frac{1}{3}}}{4} - \frac{u^{\frac{4}{3}}}{4} d u$

解题步骤 6

将单个积分拆分为多个积分。

$- (\int \frac{3 u^{\frac{1}{3}}}{4} d u + \int - \frac{u^{\frac{4}{3}}}{4} d u)$

解题步骤 7

由于 $\frac{3}{4}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{3}{4}$ 移到积分外。

$- (\frac{3}{4} \int u^{\frac{1}{3}} d u + \int - \frac{u^{\frac{4}{3}}}{4} d u)$

解题步骤 8

根据幂法则， $u^{\frac{1}{3}}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}$ 。

$- (\frac{3}{4} (\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C) + \int - \frac{u^{\frac{4}{3}}}{4} d u)$

解题步骤 9

组合 $\frac{3}{4}$ 和 $u^{\frac{4}{3}}$ 。

$- (\frac{3}{4} (\frac{3 u^{\frac{4}{3}}}{4} + C) + \int - \frac{u^{\frac{4}{3}}}{4} d u)$

解题步骤 10

由于 $- 1$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$- (\frac{3}{4} (\frac{3 u^{\frac{4}{3}}}{4} + C) - \int \frac{u^{\frac{4}{3}}}{4} d u)$

解题步骤 11

由于 $\frac{1}{4}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{4}$ 移到积分外。

$- (\frac{3}{4} (\frac{3 u^{\frac{4}{3}}}{4} + C) - (\frac{1}{4} \int u^{\frac{4}{3}} d u))$

解题步骤 12

根据幂法则， $u^{\frac{4}{3}}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{3}{7} u^{\frac{7}{3}}$ 。

$- (\frac{3}{4} (\frac{3 u^{\frac{4}{3}}}{4} + C) - \frac{1}{4} (\frac{3}{7} u^{\frac{7}{3}} + C))$

解题步骤 13

化简。

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解题步骤 13.1

组合 $\frac{3}{7}$ 和 $u^{\frac{7}{3}}$ 。

$- (\frac{3}{4} (\frac{3 u^{\frac{4}{3}}}{4} + C) - \frac{1}{4} (\frac{3 u^{\frac{7}{3}}}{7} + C))$

解题步骤 13.2

化简。

$- (\frac{9 u^{\frac{4}{3}}}{16} - \frac{3 u^{\frac{7}{3}}}{28}) + C$

解题步骤 14

重新排序项。

$- (\frac{9}{16} u^{\frac{4}{3}} - \frac{3}{28} u^{\frac{7}{3}}) + C$

解题步骤 15

使用 $3 - 2 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- (\frac{9}{16} {(3 - 2 x)}^{\frac{4}{3}} - \frac{3}{28} {(3 - 2 x)}^{\frac{7}{3}}) + C$

解题步骤 16

化简。

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解题步骤 16.1

化简每一项。

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解题步骤 16.1.1

组合 $\frac{9}{16}$ 和 ${(3 - 2 x)}^{\frac{4}{3}}$ 。

$- (\frac{9 {(3 - 2 x)}^{\frac{4}{3}}}{16} - \frac{3}{28} {(3 - 2 x)}^{\frac{7}{3}}) + C$

解题步骤 16.1.2

组合 ${(3 - 2 x)}^{\frac{7}{3}}$ 和 $\frac{3}{28}$ 。

$- (\frac{9 {(3 - 2 x)}^{\frac{4}{3}}}{16} - \frac{{(3 - 2 x)}^{\frac{7}{3}} \cdot 3}{28}) + C$

解题步骤 16.1.3

将 $3$ 移到 ${(3 - 2 x)}^{\frac{7}{3}}$ 的左侧。

$- (\frac{9 {(3 - 2 x)}^{\frac{4}{3}}}{16} - \frac{3 {(3 - 2 x)}^{\frac{7}{3}}}{28}) + C$

解题步骤 16.2

要将 $\frac{9 {(3 - 2 x)}^{\frac{4}{3}}}{16}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{7}{7}$ 。

$- (\frac{9 {(3 - 2 x)}^{\frac{4}{3}}}{16} \cdot \frac{7}{7} - \frac{3 {(3 - 2 x)}^{\frac{7}{3}}}{28}) + C$

解题步骤 16.3

要将 $- \frac{3 {(3 - 2 x)}^{\frac{7}{3}}}{28}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$- (\frac{9 {(3 - 2 x)}^{\frac{4}{3}}}{16} \cdot \frac{7}{7} - \frac{3 {(3 - 2 x)}^{\frac{7}{3}}}{28} \cdot \frac{4}{4}) + C$

解题步骤 16.4

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $112$ 的形式。

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解题步骤 16.4.1

将 $\frac{9 {(3 - 2 x)}^{\frac{4}{3}}}{16}$ 乘以 $\frac{7}{7}$ 。

$- (\frac{9 {(3 - 2 x)}^{\frac{4}{3}} \cdot 7}{16 \cdot 7} - \frac{3 {(3 - 2 x)}^{\frac{7}{3}}}{28} \cdot \frac{4}{4}) + C$

解题步骤 16.4.2

将 $16$ 乘以 $7$ 。

$- (\frac{9 {(3 - 2 x)}^{\frac{4}{3}} \cdot 7}{112} - \frac{3 {(3 - 2 x)}^{\frac{7}{3}}}{28} \cdot \frac{4}{4}) + C$

解题步骤 16.4.3

将 $\frac{3 {(3 - 2 x)}^{\frac{7}{3}}}{28}$ 乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$- (\frac{9 {(3 - 2 x)}^{\frac{4}{3}} \cdot 7}{112} - \frac{3 {(3 - 2 x)}^{\frac{7}{3}} \cdot 4}{28 \cdot 4}) + C$

解题步骤 16.4.4

将 $28$ 乘以 $4$ 。

$- (\frac{9 {(3 - 2 x)}^{\frac{4}{3}} \cdot 7}{112} - \frac{3 {(3 - 2 x)}^{\frac{7}{3}} \cdot 4}{112}) + C$

解题步骤 16.5

在公分母上合并分子。

$- \frac{9 {(3 - 2 x)}^{\frac{4}{3}} \cdot 7 - 3 {(3 - 2 x)}^{\frac{7}{3}} \cdot 4}{112} + C$

解题步骤 16.6

化简分子。

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解题步骤 16.6.1

将 $7$ 乘以 $9$ 。

$- \frac{63 {(3 - 2 x)}^{\frac{4}{3}} - 3 {(3 - 2 x)}^{\frac{7}{3}} \cdot 4}{112} + C$

解题步骤 16.6.2

将 $4$ 乘以 $- 3$ 。

$- \frac{63 {(3 - 2 x)}^{\frac{4}{3}} - 12 {(3 - 2 x)}^{\frac{7}{3}}}{112} + C$

解题步骤 17

重新排序项。

$- \frac{1}{112} (63 {(3 - 2 x)}^{\frac{4}{3}} - 12 {(3 - 2 x)}^{\frac{7}{3}}) + C$

微积分学 示例

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