微积分学示例

$y = {(\frac{5 x}{6 - 5 x^{3}})}^{3}$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(\frac{5 x}{6 - 5 x^{3}})}^{3})$

解题步骤 2

$y$ 对 $x$ 的导数为 $y'$ 。

$y'$

解题步骤 3

对方程右边求微分。

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解题步骤 3.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{3}$ 且 $g (x) = \frac{5 x}{6 - 5 x^{3}}$ 。

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解题步骤 3.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\frac{5 x}{6 - 5 x^{3}}$ 。

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [\frac{5 x}{6 - 5 x^{3}}]$

解题步骤 3.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [\frac{5 x}{6 - 5 x^{3}}]$

解题步骤 3.1.3

使用 $\frac{5 x}{6 - 5 x^{3}}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$3 {(\frac{5 x}{6 - 5 x^{3}})}^{2} \frac{d}{d x} [\frac{5 x}{6 - 5 x^{3}}]$

解题步骤 3.2

使用常数相乘法则求微分。

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解题步骤 3.2.1

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{5 x}{6 - 5 x^{3}}$ 对 $x$ 的导数是 $5 \frac{d}{d x} [\frac{x}{6 - 5 x^{3}}]$ 。

$3 {(\frac{5 x}{6 - 5 x^{3}})}^{2} (5 \frac{d}{d x} [\frac{x}{6 - 5 x^{3}}])$

解题步骤 3.2.2

将 $5$ 乘以 $3$ 。

$15 {(\frac{5 x}{6 - 5 x^{3}})}^{2} \frac{d}{d x} [\frac{x}{6 - 5 x^{3}}]$

解题步骤 3.3

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = 6 - 5 x^{3}$ 。

$15 {(\frac{5 x}{6 - 5 x^{3}})}^{2} \frac{(6 - 5 x^{3}) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [6 - 5 x^{3}]}{{(6 - 5 x^{3})}^{2}}$

解题步骤 3.4

求微分。

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解题步骤 3.4.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$15 {(\frac{5 x}{6 - 5 x^{3}})}^{2} \frac{(6 - 5 x^{3}) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [6 - 5 x^{3}]}{{(6 - 5 x^{3})}^{2}}$

解题步骤 3.4.2

将 $6 - 5 x^{3}$ 乘以 $1$ 。

$15 {(\frac{5 x}{6 - 5 x^{3}})}^{2} \frac{6 - 5 x^{3} - x \frac{d}{d x} [6 - 5 x^{3}]}{{(6 - 5 x^{3})}^{2}}$

解题步骤 3.4.3

根据加法法则， $6 - 5 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}]$ 。

$15 {(\frac{5 x}{6 - 5 x^{3}})}^{2} \frac{6 - 5 x^{3} - x (\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}])}{{(6 - 5 x^{3})}^{2}}$

解题步骤 3.4.4

因为 $6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $6$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$15 {(\frac{5 x}{6 - 5 x^{3}})}^{2} \frac{6 - 5 x^{3} - x (0 + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}])}{{(6 - 5 x^{3})}^{2}}$

解题步骤 3.4.5

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [- 5 x^{3}]$ 相加。

$15 {(\frac{5 x}{6 - 5 x^{3}})}^{2} \frac{6 - 5 x^{3} - x \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}]}{{(6 - 5 x^{3})}^{2}}$

解题步骤 3.4.6

因为 $- 5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 5 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $- 5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$15 {(\frac{5 x}{6 - 5 x^{3}})}^{2} \frac{6 - 5 x^{3} - x (- 5 \frac{d}{d x} [x^{3}])}{{(6 - 5 x^{3})}^{2}}$

解题步骤 3.4.7

将 $- 5$ 乘以 $- 1$ 。

$15 {(\frac{5 x}{6 - 5 x^{3}})}^{2} \frac{6 - 5 x^{3} + 5 x \frac{d}{d x} [x^{3}]}{{(6 - 5 x^{3})}^{2}}$

解题步骤 3.4.8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$15 {(\frac{5 x}{6 - 5 x^{3}})}^{2} \frac{6 - 5 x^{3} + 5 x (3 x^{2})}{{(6 - 5 x^{3})}^{2}}$

解题步骤 3.4.9

将 $3$ 乘以 $5$ 。

$15 {(\frac{5 x}{6 - 5 x^{3}})}^{2} \frac{6 - 5 x^{3} + 15 x \cdot x^{2}}{{(6 - 5 x^{3})}^{2}}$

解题步骤 3.5

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 3.5.1

移动 $x^{2}$ 。

$15 {(\frac{5 x}{6 - 5 x^{3}})}^{2} \frac{6 - 5 x^{3} + 15 (x^{2} x)}{{(6 - 5 x^{3})}^{2}}$

解题步骤 3.5.2

将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 3.5.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$15 {(\frac{5 x}{6 - 5 x^{3}})}^{2} \frac{6 - 5 x^{3} + 15 (x^{2} x^{1})}{{(6 - 5 x^{3})}^{2}}$

解题步骤 3.5.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$15 {(\frac{5 x}{6 - 5 x^{3}})}^{2} \frac{6 - 5 x^{3} + 15 x^{2 + 1}}{{(6 - 5 x^{3})}^{2}}$

解题步骤 3.5.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$15 {(\frac{5 x}{6 - 5 x^{3}})}^{2} \frac{6 - 5 x^{3} + 15 x^{3}}{{(6 - 5 x^{3})}^{2}}$

解题步骤 3.6

将 $- 5 x^{3}$ 和 $15 x^{3}$ 相加。

$15 {(\frac{5 x}{6 - 5 x^{3}})}^{2} \frac{6 + 10 x^{3}}{{(6 - 5 x^{3})}^{2}}$

解题步骤 3.7

组合 $\frac{6 + 10 x^{3}}{{(6 - 5 x^{3})}^{2}}$ 和 $15$ 。

$\frac{(6 + 10 x^{3}) \cdot 15}{{(6 - 5 x^{3})}^{2}} {(\frac{5 x}{6 - 5 x^{3}})}^{2}$

解题步骤 3.8

将 $15$ 移到 $6 + 10 x^{3}$ 的左侧。

$\frac{15 \cdot (6 + 10 x^{3})}{{(6 - 5 x^{3})}^{2}} {(\frac{5 x}{6 - 5 x^{3}})}^{2}$

解题步骤 3.9

化简。

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解题步骤 3.9.1

对 $\frac{5 x}{6 - 5 x^{3}}$ 运用乘积法则。

$\frac{15 (6 + 10 x^{3})}{{(6 - 5 x^{3})}^{2}} \cdot \frac{{(5 x)}^{2}}{{(6 - 5 x^{3})}^{2}}$

解题步骤 3.9.2

对 $5 x$ 运用乘积法则。

$\frac{15 (6 + 10 x^{3})}{{(6 - 5 x^{3})}^{2}} \cdot \frac{5^{2} x^{2}}{{(6 - 5 x^{3})}^{2}}$

解题步骤 3.9.3

运用分配律。

$\frac{15 \cdot 6 + 15 (10 x^{3})}{{(6 - 5 x^{3})}^{2}} \cdot \frac{5^{2} x^{2}}{{(6 - 5 x^{3})}^{2}}$

解题步骤 3.9.4

合并项。

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解题步骤 3.9.4.1

将 $15$ 乘以 $6$ 。

$\frac{90 + 15 (10 x^{3})}{{(6 - 5 x^{3})}^{2}} \cdot \frac{5^{2} x^{2}}{{(6 - 5 x^{3})}^{2}}$

解题步骤 3.9.4.2

将 $10$ 乘以 $15$ 。

$\frac{90 + 150 x^{3}}{{(6 - 5 x^{3})}^{2}} \cdot \frac{5^{2} x^{2}}{{(6 - 5 x^{3})}^{2}}$

解题步骤 3.9.4.3

对 $5$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{90 + 150 x^{3}}{{(6 - 5 x^{3})}^{2}} \cdot \frac{25 x^{2}}{{(6 - 5 x^{3})}^{2}}$

解题步骤 3.9.4.4

将 $\frac{90 + 150 x^{3}}{{(6 - 5 x^{3})}^{2}}$ 乘以 $\frac{25 x^{2}}{{(6 - 5 x^{3})}^{2}}$ 。

$\frac{(90 + 150 x^{3}) (25 x^{2})}{{(6 - 5 x^{3})}^{2} {(6 - 5 x^{3})}^{2}}$

解题步骤 3.9.4.5

通过指数相加将 ${(6 - 5 x^{3})}^{2}$ 乘以 ${(6 - 5 x^{3})}^{2}$ 。

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解题步骤 3.9.4.5.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{(90 + 150 x^{3}) (25 x^{2})}{{(6 - 5 x^{3})}^{2 + 2}}$

解题步骤 3.9.4.5.2

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$\frac{(90 + 150 x^{3}) (25 x^{2})}{{(6 - 5 x^{3})}^{4}}$

解题步骤 3.9.4.6

将 $25$ 移到 $90 + 150 x^{3}$ 的左侧。

$\frac{25 (90 + 150 x^{3}) x^{2}}{{(6 - 5 x^{3})}^{4}}$

解题步骤 3.9.5

重新排序项。

$\frac{25 x^{2} (90 + 150 x^{3})}{{(- 5 x^{3} + 6)}^{4}}$

解题步骤 3.9.6

化简分子。

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解题步骤 3.9.6.1

从 $90 + 150 x^{3}$ 中分解出因数 $30$ 。

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解题步骤 3.9.6.1.1

从 $90$ 中分解出因数 $30$ 。

$\frac{25 x^{2} (30 (3) + 150 x^{3})}{{(- 5 x^{3} + 6)}^{4}}$

解题步骤 3.9.6.1.2

从 $150 x^{3}$ 中分解出因数 $30$ 。

$\frac{25 x^{2} (30 (3) + 30 (5 x^{3}))}{{(- 5 x^{3} + 6)}^{4}}$

解题步骤 3.9.6.1.3

从 $30 (3) + 30 (5 x^{3})$ 中分解出因数 $30$ 。

$\frac{25 x^{2} (30 (3 + 5 x^{3}))}{{(- 5 x^{3} + 6)}^{4}}$

$\frac{25 x^{2} \cdot 30 (3 + 5 x^{3})}{{(- 5 x^{3} + 6)}^{4}}$

解题步骤 3.9.6.2

将 $30$ 乘以 $25$ 。

$\frac{750 x^{2} (3 + 5 x^{3})}{{(- 5 x^{3} + 6)}^{4}}$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$y' = \frac{750 x^{2} (3 + 5 x^{3})}{{(- 5 x^{3} + 6)}^{4}}$

解题步骤 5

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{750 x^{2} (3 + 5 x^{3})}{{(- 5 x^{3} + 6)}^{4}}$

微积分学 示例

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