微积分学示例

$80 + \frac{4}{x + 1}$

解题步骤 1

求微分。

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解题步骤 1.1

根据加法法则， $80 + \frac{4}{x + 1}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [80] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{x + 1}]$ 。

$\frac{d}{d x} [80] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{x + 1}]$

解题步骤 1.2

因为 $80$ 对于 $x$ 是常数，所以 $80$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d x} [\frac{4}{x + 1}]$

解题步骤 2

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{4}{x + 1}]$ 。

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解题步骤 2.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{4}{x + 1}$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x + 1}]$ 。

$0 + 4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x + 1}]$

解题步骤 2.2

将 $\frac{1}{x + 1}$ 重写为 ${(x + 1)}^{- 1}$ 。

$0 + 4 \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{- 1}]$

解题步骤 2.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- 1}$ 且 $g (x) = x + 1$ 。

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解题步骤 2.3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x + 1$ 。

$0 + 4 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x + 1])$

解题步骤 2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$0 + 4 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x + 1])$

解题步骤 2.3.3

使用 $x + 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$0 + 4 (- {(x + 1)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x + 1])$

解题步骤 2.4

根据加法法则， $x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$0 + 4 (- {(x + 1)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]))$

解题步骤 2.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$0 + 4 (- {(x + 1)}^{- 2} (1 + \frac{d}{d x} [1]))$

解题步骤 2.6

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0 + 4 (- {(x + 1)}^{- 2} (1 + 0))$

解题步骤 2.7

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$0 + 4 (- {(x + 1)}^{- 2} \cdot 1)$

解题步骤 2.8

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$0 + 4 (- {(x + 1)}^{- 2})$

解题步骤 2.9

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$0 - 4 {(x + 1)}^{- 2}$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$0 - 4 \frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.2

合并项。

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解题步骤 3.2.1

组合 $- 4$ 和 $\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$ 。

$0 + \frac{- 4}{{(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.2.2

将负号移到分数的前面。

$0 - \frac{4}{{(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.2.3

从 $0$ 中减去 $\frac{4}{{(x + 1)}^{2}}$ 。

$- \frac{4}{{(x + 1)}^{2}}$

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