微积分学示例

$\int \frac{x^{2} + 1}{x^{2} - x} d x$

解题步骤 1

用 $x^{2} + 1$ 除以 $x^{2} - x$ 。

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解题步骤 1.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$x^{2}$

$x$

$0$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

解题步骤 1.2

将被除数中的最高阶项 $x^{2}$ 除以除数中的最高阶项 $x^{2}$ 。

							$1$
	$x^{2}$	-	$x$	+	$0$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$

解题步骤 1.3

将新的商式项乘以除数。

						$1$
$x^{2}$	-	$x$	+	$0$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
					+	$x^{2}$	-	$x$	+	$0$

解题步骤 1.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $x^{2} - x + 0$ 中的所有符号

						$1$
$x^{2}$	-	$x$	+	$0$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
					-	$x^{2}$	+	$x$	-	$0$

解题步骤 1.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

						$1$
$x^{2}$	-	$x$	+	$0$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
					-	$x^{2}$	+	$x$	-	$0$
							+	$x$	+	$1$

解题步骤 1.6

最终答案为商加上余数除以除数。

$\int 1 + \frac{x + 1}{x^{2} - x} d x$

解题步骤 2

将单个积分拆分为多个积分。

$\int d x + \int \frac{x + 1}{x^{2} - x} d x$

解题步骤 3

应用常数不变法则。

$x + C + \int \frac{x + 1}{x^{2} - x} d x$

解题步骤 4

用部分分式分解写出分数。

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解题步骤 4.1

分解分数并乘以公分母。

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解题步骤 4.1.1

从 $x^{2} - x$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 4.1.1.1

从 $x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x + 1}{x \cdot x - x}$

解题步骤 4.1.1.2

从 $- x$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x + 1}{x \cdot x + x \cdot - 1}$

解题步骤 4.1.1.3

从 $x \cdot x + x \cdot - 1$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x + 1}{x (x - 1)}$

解题步骤 4.1.2

对于分母中的每一个因式，使用该因式为分母、未知值为分子来创建一个新的分数。由于分母中的因式是线性的，在它的位置 $B$ 上放置单个变量。

$\frac{A}{x} + \frac{B}{x - 1}$

解题步骤 4.1.3

将方程中的每个分数乘以原表达式中的分母。在本例中，分母为 $x (x - 1)$ 。

$\frac{(x + 1) (x (x - 1))}{x (x - 1)} = \frac{A (x (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x - 1))}{x - 1}$

解题步骤 4.1.4

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 4.1.4.1

约去公因数。

$\frac{(x + 1) (x (x - 1))}{x (x - 1)} = \frac{A (x (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x - 1))}{x - 1}$

解题步骤 4.1.4.2

重写表达式。

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{x - 1} = \frac{A (x (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x - 1))}{x - 1}$

解题步骤 4.1.5

约去 $x - 1$ 的公因数。

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解题步骤 4.1.5.1

约去公因数。

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{x - 1} = \frac{A (x (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x - 1))}{x - 1}$

解题步骤 4.1.5.2

用 $x + 1$ 除以 $1$ 。

$x + 1 = \frac{A (x (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x - 1))}{x - 1}$

解题步骤 4.1.6

化简每一项。

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解题步骤 4.1.6.1

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 4.1.6.1.1

约去公因数。

$x + 1 = \frac{A (x (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x - 1))}{x - 1}$

解题步骤 4.1.6.1.2

用 $A (x - 1)$ 除以 $1$ 。

$x + 1 = A (x - 1) + \frac{(B) (x (x - 1))}{x - 1}$

解题步骤 4.1.6.2

运用分配律。

$x + 1 = A x + A \cdot - 1 + \frac{(B) (x (x - 1))}{x - 1}$

解题步骤 4.1.6.3

将 $- 1$ 移到 $A$ 的左侧。

$x + 1 = A x - 1 \cdot A + \frac{(B) (x (x - 1))}{x - 1}$

解题步骤 4.1.6.4

将 $- 1 A$ 重写为 $- A$ 。

$x + 1 = A x - A + \frac{(B) (x (x - 1))}{x - 1}$

解题步骤 4.1.6.5

约去 $x - 1$ 的公因数。

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解题步骤 4.1.6.5.1

约去公因数。

$x + 1 = A x - A + \frac{B (x (x - 1))}{x - 1}$

解题步骤 4.1.6.5.2

用 $(B) (x)$ 除以 $1$ 。

$x + 1 = A x - A + (B) (x)$

$x + 1 = A x - A + B x$

解题步骤 4.1.7

移动 $- A$ 。

$x + 1 = A x + B x - A$

解题步骤 4.2

为部分分式变量创建方程, 并使用它们建立方程组。

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解题步骤 4.2.1

使方程两边 $x$ 的系数相等，从而为部分分式变量创建一个等式。要使等式成立，等式两边的相应系数必须相等。

$1 = A + B$

解题步骤 4.2.2

使方程两边不含 $x$ 的各项系数相等，从而为部分分式变量创建一个等式。要使等式成立，等式两边的相应系数必须相等。

$1 = - 1 A$

解题步骤 4.2.3

建立方程组以求部分分式的系数。

$1 = A + B$

$1 = - 1 A$

$1 = A + B$

$1 = - 1 A$

解题步骤 4.3

求解方程组。

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解题步骤 4.3.1

在 $1 = - 1 A$ 中求解 $A$ 。

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解题步骤 4.3.1.1

将方程重写为 $- 1 A = 1$ 。

$- 1 A = 1$

$1 = A + B$

解题步骤 4.3.1.2

将 $- 1 A = 1$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 4.3.1.2.1

将 $- 1 A = 1$ 中的每一项都除以 $- 1$ 。

$\frac{- 1 A}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

$1 = A + B$

解题步骤 4.3.1.2.2

化简左边。

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解题步骤 4.3.1.2.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{A}{1} = \frac{1}{- 1}$

$1 = A + B$

解题步骤 4.3.1.2.2.2

用 $A$ 除以 $1$ 。

$A = \frac{1}{- 1}$

$1 = A + B$

$A = \frac{1}{- 1}$

$1 = A + B$

解题步骤 4.3.1.2.3

化简右边。

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解题步骤 4.3.1.2.3.1

用 $1$ 除以 $- 1$ 。

$A = - 1$

$1 = A + B$

$A = - 1$

$1 = A + B$

$A = - 1$

$1 = A + B$

$A = - 1$

$1 = A + B$

解题步骤 4.3.2

将每个方程中所有出现的 $A$ 替换成 $- 1$ 。

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解题步骤 4.3.2.1

使用 $- 1$ 替换 $1 = A + B$ 中所有出现的 $A$ .

$1 = (- 1) + B$

$A = - 1$

解题步骤 4.3.2.2

化简右边。

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解题步骤 4.3.2.2.1

去掉圆括号。

$1 = - 1 + B$

$A = - 1$

$1 = - 1 + B$

$A = - 1$

$1 = - 1 + B$

$A = - 1$

解题步骤 4.3.3

在 $1 = - 1 + B$ 中求解 $B$ 。

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解题步骤 4.3.3.1

将方程重写为 $- 1 + B = 1$ 。

$- 1 + B = 1$

$A = - 1$

解题步骤 4.3.3.2

将所有不包含 $B$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 4.3.3.2.1

在等式两边都加上 $1$ 。

$B = 1 + 1$

$A = - 1$

解题步骤 4.3.3.2.2

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$B = 2$

$A = - 1$

$B = 2$

$A = - 1$

$B = 2$

$A = - 1$

解题步骤 4.3.4

求解方程组。

$B = 2 A = - 1$

解题步骤 4.3.5

列出所有解。

$B = 2, A = - 1$

解题步骤 4.4

将 $\frac{A}{x} + \frac{B}{x - 1}$ 中的每个部分分式的系数替换为求得的 $A$ 和 $B$ 的值。

$- \frac{1}{x} + \frac{2}{x - 1}$

解题步骤 4.5

将负号移到分数的前面。

$x + C + \int - \frac{1}{x} + \frac{2}{x - 1} d x$

解题步骤 5

将单个积分拆分为多个积分。

$x + C + \int - \frac{1}{x} d x + \int \frac{2}{x - 1} d x$

解题步骤 6

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$x + C - \int \frac{1}{x} d x + \int \frac{2}{x - 1} d x$

解题步骤 7

$\frac{1}{x}$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| x |)$ 。

$x + C - (\ln (| x |) + C) + \int \frac{2}{x - 1} d x$

解题步骤 8

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$x + C - (\ln (| x |) + C) + 2 \int \frac{1}{x - 1} d x$

解题步骤 9

使 $u = x - 1$ 。然后使 $d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 9.1

设 $u = x - 1$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 9.1.1

对 $x - 1$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

解题步骤 9.1.2

根据加法法则， $x - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 9.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 9.1.4

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$1 + 0$

解题步骤 9.1.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$1$

解题步骤 9.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$x + C - (\ln (| x |) + C) + 2 \int \frac{1}{u} d u$

解题步骤 10

$\frac{1}{u}$ 对 $u$ 的积分为 $\ln (| u |)$ 。

$x + C - (\ln (| x |) + C) + 2 (\ln (| u |) + C)$

解题步骤 11

化简。

$x - \ln (| x |) + 2 \ln (| u |) + C$

解题步骤 12

使用 $x - 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$x - \ln (| x |) + 2 \ln (| x - 1 |) + C$

微积分学 示例

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