微积分学示例

$\sin (x) + e^{- x} + 3 x$

解题步骤 1

根据加法法则， $\sin (x) + e^{- x} + 3 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [e^{- x}] + \frac{d}{d x} [3 x]$ 。

$\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [e^{- x}] + \frac{d}{d x} [3 x]$

解题步骤 2

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$\cos (x) + \frac{d}{d x} [e^{- x}] + \frac{d}{d x} [3 x]$

解题步骤 3

计算 $\frac{d}{d x} [e^{- x}]$ 。

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解题步骤 3.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = - x$ 。

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解题步骤 3.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $- x$ 。

$\cos (x) + \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [3 x]$

解题步骤 3.1.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$\cos (x) + e^{u} \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [3 x]$

解题步骤 3.1.3

使用 $- x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\cos (x) + e^{- x} \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [3 x]$

解题步骤 3.2

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\cos (x) + e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [3 x]$

解题步骤 3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\cos (x) + e^{- x} (- 1 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [3 x]$

解题步骤 3.4

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\cos (x) + e^{- x} \cdot - 1 + \frac{d}{d x} [3 x]$

解题步骤 3.5

将 $- 1$ 移到 $e^{- x}$ 的左侧。

$\cos (x) - 1 \cdot e^{- x} + \frac{d}{d x} [3 x]$

解题步骤 3.6

将 $- 1 e^{- x}$ 重写为 $- e^{- x}$ 。

$\cos (x) - e^{- x} + \frac{d}{d x} [3 x]$

解题步骤 4

计算 $\frac{d}{d x} [3 x]$ 。

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解题步骤 4.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\cos (x) - e^{- x} + 3 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\cos (x) - e^{- x} + 3 \cdot 1$

解题步骤 4.3

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$\cos (x) - e^{- x} + 3$

解题步骤 5

重新排序项。

$3 - e^{- x} + \cos (x)$

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