微积分学示例

$\int (\frac{16}{x^{6}} - \frac{9}{x^{- 3}} + \frac{4}{x^{\frac{1}{3}}}) d x$

解题步骤 1

去掉圆括号。

$\int \frac{16}{x^{6}} - \frac{9}{x^{- 3}} + \frac{4}{x^{\frac{1}{3}}} d x$

解题步骤 2

化简。

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解题步骤 2.1

使用负指数规则 $\frac{1}{b^{- n}} = b^{n}$ 将 $x^{- 3}$ 移动到分子。

$\int \frac{16}{x^{6}} - (9 x^{3}) + \frac{4}{x^{\frac{1}{3}}} d x$

解题步骤 2.2

将 $9$ 乘以 $- 1$ 。

$\int \frac{16}{x^{6}} - 9 x^{3} + \frac{4}{x^{\frac{1}{3}}} d x$

解题步骤 3

将单个积分拆分为多个积分。

$\int \frac{16}{x^{6}} d x + \int - 9 x^{3} d x + \int \frac{4}{x^{\frac{1}{3}}} d x$

解题步骤 4

由于 $16$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $16$ 移到积分外。

$16 \int \frac{1}{x^{6}} d x + \int - 9 x^{3} d x + \int \frac{4}{x^{\frac{1}{3}}} d x$

解题步骤 5

应用指数的基本规则。

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解题步骤 5.1

通过将 $x^{6}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$16 \int {(x^{6})}^{- 1} d x + \int - 9 x^{3} d x + \int \frac{4}{x^{\frac{1}{3}}} d x$

解题步骤 5.2

将 ${(x^{6})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 5.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$16 \int x^{6 \cdot - 1} d x + \int - 9 x^{3} d x + \int \frac{4}{x^{\frac{1}{3}}} d x$

解题步骤 5.2.2

将 $6$ 乘以 $- 1$ 。

$16 \int x^{- 6} d x + \int - 9 x^{3} d x + \int \frac{4}{x^{\frac{1}{3}}} d x$

解题步骤 6

根据幂法则， $x^{- 6}$ 对 $x$ 的积分是 $- \frac{1}{5} x^{- 5}$ 。

$16 (- \frac{1}{5} x^{- 5} + C) + \int - 9 x^{3} d x + \int \frac{4}{x^{\frac{1}{3}}} d x$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

组合 $x^{- 5}$ 和 $\frac{1}{5}$ 。

$16 (- \frac{x^{- 5}}{5} + C) + \int - 9 x^{3} d x + \int \frac{4}{x^{\frac{1}{3}}} d x$

解题步骤 7.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- 5}$ 移动到分母。

$16 (- \frac{1}{5 x^{5}} + C) + \int - 9 x^{3} d x + \int \frac{4}{x^{\frac{1}{3}}} d x$

解题步骤 8

由于 $- 9$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 9$ 移到积分外。

$16 (- \frac{1}{5 x^{5}} + C) - 9 \int x^{3} d x + \int \frac{4}{x^{\frac{1}{3}}} d x$

解题步骤 9

根据幂法则， $x^{3}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{4} x^{4}$ 。

$16 (- \frac{1}{5 x^{5}} + C) - 9 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int \frac{4}{x^{\frac{1}{3}}} d x$

解题步骤 10

由于 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $4$ 移到积分外。

$16 (- \frac{1}{5 x^{5}} + C) - 9 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + 4 \int \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} d x$

解题步骤 11

化简表达式。

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解题步骤 11.1

通过将 $x^{\frac{1}{3}}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$16 (- \frac{1}{5 x^{5}} + C) - 9 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + 4 \int {(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1} d x$

解题步骤 11.2

化简。

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解题步骤 11.2.1

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $x^{4}$ 。

$16 (- \frac{1}{5 x^{5}} + C) - 9 (\frac{x^{4}}{4} + C) + 4 \int {(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1} d x$

解题步骤 11.2.2

将 ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 11.2.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$16 (- \frac{1}{5 x^{5}} + C) - 9 (\frac{x^{4}}{4} + C) + 4 \int x^{\frac{1}{3} \cdot - 1} d x$

解题步骤 11.2.2.2

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $- 1$ 。

$16 (- \frac{1}{5 x^{5}} + C) - 9 (\frac{x^{4}}{4} + C) + 4 \int x^{\frac{- 1}{3}} d x$

解题步骤 11.2.2.3

将负号移到分数的前面。

$16 (- \frac{1}{5 x^{5}} + C) - 9 (\frac{x^{4}}{4} + C) + 4 \int x^{- \frac{1}{3}} d x$

解题步骤 12

根据幂法则， $x^{- \frac{1}{3}}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}}$ 。

$16 (- \frac{1}{5 x^{5}} + C) - 9 (\frac{x^{4}}{4} + C) + 4 (\frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} + C)$

解题步骤 13

化简。

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解题步骤 13.1

组合 $\frac{3}{2}$ 和 $x^{\frac{2}{3}}$ 。

$16 (- \frac{1}{5 x^{5}} + C) - 9 (\frac{x^{4}}{4} + C) + 4 (\frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{2} + C)$

解题步骤 13.2

化简。

$- \frac{16}{5 x^{5}} - \frac{9 x^{4}}{4} + 4 \frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{2} + C$

解题步骤 13.3

化简。

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解题步骤 13.3.1

组合 $4$ 和 $\frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{2}$ 。

$- \frac{16}{5 x^{5}} - \frac{9 x^{4}}{4} + \frac{4 (3 x^{\frac{2}{3}})}{2} + C$

解题步骤 13.3.2

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$- \frac{16}{5 x^{5}} - \frac{9 x^{4}}{4} + \frac{12 x^{\frac{2}{3}}}{2} + C$

解题步骤 13.3.3

从 $12 x^{\frac{2}{3}}$ 中分解出因数 $2$ 。

$- \frac{16}{5 x^{5}} - \frac{9 x^{4}}{4} + \frac{2 (6 x^{\frac{2}{3}})}{2} + C$

解题步骤 13.3.4

约去公因数。

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解题步骤 13.3.4.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$- \frac{16}{5 x^{5}} - \frac{9 x^{4}}{4} + \frac{2 (6 x^{\frac{2}{3}})}{2 (1)} + C$

解题步骤 13.3.4.2

约去公因数。

$- \frac{16}{5 x^{5}} - \frac{9 x^{4}}{4} + \frac{2 (6 x^{\frac{2}{3}})}{2 \cdot 1} + C$

解题步骤 13.3.4.3

重写表达式。

$- \frac{16}{5 x^{5}} - \frac{9 x^{4}}{4} + \frac{6 x^{\frac{2}{3}}}{1} + C$

解题步骤 13.3.4.4

用 $6 x^{\frac{2}{3}}$ 除以 $1$ 。

$- \frac{16}{5 x^{5}} - \frac{9 x^{4}}{4} + 6 x^{\frac{2}{3}} + C$

解题步骤 14

重新排序项。

$- \frac{16}{5 x^{5}} - \frac{9}{4} x^{4} + 6 x^{\frac{2}{3}} + C$

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