微积分学示例

$y = \frac{1}{27} {(9 x^{2} + 6)}^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{1}{27} \cdot {(9 x^{2} + 6)}^{\frac{3}{2}})$

解题步骤 2

$y$ 对 $x$ 的导数为 $y'$ 。

$y'$

解题步骤 3

对方程右边求微分。

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解题步骤 3.1

因为 $\frac{1}{27}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{1}{27} \cdot {(9 x^{2} + 6)}^{\frac{3}{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{1}{27} \frac{d}{d x} [{(9 x^{2} + 6)}^{\frac{3}{2}}]$ 。

$\frac{1}{27} \frac{d}{d x} [{(9 x^{2} + 6)}^{\frac{3}{2}}]$

解题步骤 3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{3}{2}}$ 且 $g (x) = 9 x^{2} + 6$ 。

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解题步骤 3.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $9 x^{2} + 6$ 。

$\frac{1}{27} (\frac{d}{d u} [u^{\frac{3}{2}}] \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 6])$

解题步骤 3.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{3}{2}$ 。

$\frac{1}{27} (\frac{3}{2} u^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 6])$

解题步骤 3.2.3

使用 $9 x^{2} + 6$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{27} (\frac{3}{2} {(9 x^{2} + 6)}^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 6])$

解题步骤 3.3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{27} (\frac{3}{2} {(9 x^{2} + 6)}^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 6])$

解题步骤 3.4

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{27} (\frac{3}{2} {(9 x^{2} + 6)}^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 6])$

解题步骤 3.5

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{27} (\frac{3}{2} {(9 x^{2} + 6)}^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 6])$

解题步骤 3.6

化简分子。

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解题步骤 3.6.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{27} (\frac{3}{2} {(9 x^{2} + 6)}^{\frac{3 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 6])$

解题步骤 3.6.2

从 $3$ 中减去 $2$ 。

$\frac{1}{27} (\frac{3}{2} {(9 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 6])$

解题步骤 3.7

组合 $\frac{3}{2}$ 和 ${(9 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{1}{27} (\frac{3 {(9 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 6])$

解题步骤 3.8

将 $\frac{3 {(9 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}}{2}$ 乘以 $\frac{1}{27}$ 。

$\frac{3 {(9 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}}{2 \cdot 27} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 6]$

解题步骤 3.9

将 $2$ 乘以 $27$ 。

$\frac{3 {(9 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}}{54} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 6]$

解题步骤 3.10

从 $3 {(9 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 ({(9 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}})}{54} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 6]$

解题步骤 3.11

约去公因数。

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解题步骤 3.11.1

从 $54$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 {(9 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}}{3 \cdot 18} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 6]$

解题步骤 3.11.2

约去公因数。

$\frac{3 {(9 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}}{3 \cdot 18} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 6]$

解题步骤 3.11.3

重写表达式。

$\frac{{(9 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}}{18} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 6]$

解题步骤 3.12

根据加法法则， $9 x^{2} + 6$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6]$ 。

$\frac{{(9 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}}{18} (\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6])$

解题步骤 3.13

因为 $9$ 对于 $x$ 是常数，所以 $9 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$\frac{{(9 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}}{18} (9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6])$

解题步骤 3.14

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{{(9 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}}{18} (9 (2 x) + \frac{d}{d x} [6])$

解题步骤 3.15

将 $2$ 乘以 $9$ 。

$\frac{{(9 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}}{18} (18 x + \frac{d}{d x} [6])$

解题步骤 3.16

因为 $6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $6$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{{(9 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}}{18} (18 x + 0)$

解题步骤 3.17

化简项。

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解题步骤 3.17.1

将 $18 x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{{(9 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}}{18} (18 x)$

解题步骤 3.17.2

组合 $18$ 和 $\frac{{(9 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}}{18}$ 。

$\frac{18 {(9 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}}{18} x$

解题步骤 3.17.3

组合 $\frac{18 {(9 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}}{18}$ 和 $x$ 。

$\frac{18 {(9 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}} x}{18}$

解题步骤 3.17.4

约去公因数。

$\frac{18 {(9 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}} x}{18}$

解题步骤 3.17.5

化简表达式。

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解题步骤 3.17.5.1

用 ${(9 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}} x$ 除以 $1$ 。

${(9 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}} x$

解题步骤 3.17.5.2

重新排序 ${(9 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}} x$ 的因式。

$x {(9 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$y' = x {(9 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 5

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = x {(9 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}$

微积分学 示例

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