微积分学示例

$y = \frac{x}{x + y}$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{x}{x + y})$

解题步骤 2

$y$ 对 $x$ 的导数为 $y'$ 。

$y'$

解题步骤 3

对方程右边求微分。

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解题步骤 3.1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = x + y$ 。

$\frac{(x + y) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x + y]}{{(x + y)}^{2}}$

解题步骤 3.2

求微分。

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解题步骤 3.2.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{(x + y) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x + y]}{{(x + y)}^{2}}$

解题步骤 3.2.2

将 $x + y$ 乘以 $1$ 。

$\frac{x + y - x \frac{d}{d x} [x + y]}{{(x + y)}^{2}}$

解题步骤 3.2.3

根据加法法则， $x + y$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ 。

$\frac{x + y - x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y])}{{(x + y)}^{2}}$

解题步骤 3.2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{x + y - x (1 + \frac{d}{d x} [y])}{{(x + y)}^{2}}$

解题步骤 3.3

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$\frac{x + y - x (1 + y')}{{(x + y)}^{2}}$

解题步骤 3.4

化简。

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解题步骤 3.4.1

运用分配律。

$\frac{x + y - x \cdot 1 - x y'}{{(x + y)}^{2}}$

解题步骤 3.4.2

化简分子。

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解题步骤 3.4.2.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{x + y - x - x y'}{{(x + y)}^{2}}$

解题步骤 3.4.2.2

合并 $x + y - x - x y'$ 中相反的项。

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解题步骤 3.4.2.2.1

从 $x$ 中减去 $x$ 。

$\frac{y + 0 - x y'}{{(x + y)}^{2}}$

解题步骤 3.4.2.2.2

将 $y$ 和 $0$ 相加。

$\frac{y - x y'}{{(x + y)}^{2}}$

解题步骤 3.4.3

重新排序项。

$\frac{- x y' + y}{{(x + y)}^{2}}$

解题步骤 3.4.4

从 $- x y'$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (x y') + y}{{(x + y)}^{2}}$

解题步骤 3.4.5

从 $y$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (x y') - 1 (- y)}{{(x + y)}^{2}}$

解题步骤 3.4.6

从 $- (x y') - 1 (- y)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (x y' - y)}{{(x + y)}^{2}}$

解题步骤 3.4.7

将 $- (x y' - y)$ 重写为 $- 1 (x y' - y)$ 。

$\frac{- 1 (x y' - y)}{{(x + y)}^{2}}$

解题步骤 3.4.8

将负号移到分数的前面。

$- \frac{x y' - y}{{(x + y)}^{2}}$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$y' = - \frac{x y' - y}{{(x + y)}^{2}}$

解题步骤 5

求解 $y'$ 。

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解题步骤 5.1

两边同时乘以 ${(x + y)}^{2}$ 。

$y' {(x + y)}^{2} = - \frac{x y' - y}{{(x + y)}^{2}} {(x + y)}^{2}$

解题步骤 5.2

化简右边。

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解题步骤 5.2.1

化简 $- \frac{x y' - y}{{(x + y)}^{2}} {(x + y)}^{2}$ 。

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解题步骤 5.2.1.1

约去 ${(x + y)}^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.1.1.1

将 $- \frac{x y' - y}{{(x + y)}^{2}}$ 中前置负号移到分子中。

$y' {(x + y)}^{2} = \frac{- (x y' - y)}{{(x + y)}^{2}} {(x + y)}^{2}$

解题步骤 5.2.1.1.2

约去公因数。

$y' {(x + y)}^{2} = \frac{- (x y' - y)}{{(x + y)}^{2}} {(x + y)}^{2}$

解题步骤 5.2.1.1.3

重写表达式。

$y' {(x + y)}^{2} = - (x y' - y)$

解题步骤 5.2.1.2

运用分配律。

$y' {(x + y)}^{2} = - (x y') - - y$

解题步骤 5.2.1.3

乘以 $- - y$ 。

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解题步骤 5.2.1.3.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$y' {(x + y)}^{2} = - x y' + 1 y$

解题步骤 5.2.1.3.2

将 $y$ 乘以 $1$ 。

$y' {(x + y)}^{2} = - x y' + y$

解题步骤 5.2.1.4

移动 $x$ 。

$y' {(x + y)}^{2} = - 1 y' x + y$

解题步骤 5.3

求解 $y'$ 。

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解题步骤 5.3.1

将 $- 1 y'$ 重写为 $- y'$ 。

$y' {(x + y)}^{2} = - y' x + y$

解题步骤 5.3.2

将所有包含 $y'$ 的项移到等式左边。

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解题步骤 5.3.2.1

在等式两边都加上 $y' x$ 。

$y' {(x + y)}^{2} + y' x = y$

解题步骤 5.3.2.2

化简每一项。

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解题步骤 5.3.2.2.1

将 ${(x + y)}^{2}$ 重写为 $(x + y) (x + y)$ 。

$y' ((x + y) (x + y)) + y' (x) = y$

解题步骤 5.3.2.2.2

使用 FOIL 方法展开 $(x + y) (x + y)$ 。

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解题步骤 5.3.2.2.2.1

运用分配律。

$y' (x (x + y) + y (x + y)) + y' (x) = y$

解题步骤 5.3.2.2.2.2

运用分配律。

$y' (x \cdot x + x y + y (x + y)) + y' (x) = y$

解题步骤 5.3.2.2.2.3

运用分配律。

$y' (x \cdot x + x y + y x + y \cdot y) + y' (x) = y$

解题步骤 5.3.2.2.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 5.3.2.2.3.1

化简每一项。

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解题步骤 5.3.2.2.3.1.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$y' (x^{2} + x y + y x + y \cdot y) + y' (x) = y$

解题步骤 5.3.2.2.3.1.2

将 $y$ 乘以 $y$ 。

$y' (x^{2} + x y + y x + y^{2}) + y' (x) = y$

解题步骤 5.3.2.2.3.2

将 $x y$ 和 $y x$ 相加。

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解题步骤 5.3.2.2.3.2.1

将 $y$ 和 $x$ 重新排序。

$y' (x^{2} + x y + x y + y^{2}) + y' (x) = y$

解题步骤 5.3.2.2.3.2.2

将 $x y$ 和 $x y$ 相加。

$y' (x^{2} + 2 x y + y^{2}) + y' (x) = y$

解题步骤 5.3.2.2.4

运用分配律。

$y' (x^{2}) + y' (2 x y) + y' (y^{2}) + y' (x) = y$

解题步骤 5.3.2.2.5

使用乘法的交换性质重写。

$y' x^{2} + 2 y' x y + y' y^{2} + y' x = y$

解题步骤 5.3.3

从 $y' x^{2} + 2 y' x y + y' y^{2} + y' x$ 中分解出因数 $y'$ 。

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解题步骤 5.3.3.1

从 $y' x^{2}$ 中分解出因数 $y'$ 。

$y' (x^{2}) + 2 y' x y + y' (y^{2}) + y' (x) = y$

解题步骤 5.3.3.2

从 $2 y' x y$ 中分解出因数 $y'$ 。

$y' (x^{2}) + y' (2 x y) + y' (y^{2}) + y' (x) = y$

解题步骤 5.3.3.3

从 $y' y^{2}$ 中分解出因数 $y'$ 。

$y' (x^{2}) + y' (2 x y) + y' (y^{2}) + y' (x) = y$

解题步骤 5.3.3.4

从 $y' x$ 中分解出因数 $y'$ 。

$y' (x^{2}) + y' (2 x y) + y' (y^{2}) + y' (x) = y$

解题步骤 5.3.3.5

从 $y' (x^{2}) + y' (2 x y)$ 中分解出因数 $y'$ 。

$y' (x^{2} + 2 x y) + y' (y^{2}) + y' (x) = y$

解题步骤 5.3.3.6

从 $y' (x^{2} + 2 x y) + y' (y^{2})$ 中分解出因数 $y'$ 。

$y' (x^{2} + 2 x y + y^{2}) + y' (x) = y$

解题步骤 5.3.3.7

从 $y' (x^{2} + 2 x y + y^{2}) + y' (x)$ 中分解出因数 $y'$ 。

$y' (x^{2} + 2 x y + y^{2} + x) = y$

解题步骤 5.3.4

将 $y' (x^{2} + 2 x y + y^{2} + x) = y$ 中的每一项除以 $x^{2} + 2 x y + y^{2} + x$ 并化简。

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解题步骤 5.3.4.1

将 $y' (x^{2} + 2 x y + y^{2} + x) = y$ 中的每一项都除以 $x^{2} + 2 x y + y^{2} + x$ 。

$\frac{y' (x^{2} + 2 x y + y^{2} + x)}{x^{2} + 2 x y + y^{2} + x} = \frac{y}{x^{2} + 2 x y + y^{2} + x}$

解题步骤 5.3.4.2

化简左边。

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解题步骤 5.3.4.2.1

约去 $x^{2} + 2 x y + y^{2} + x$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.4.2.1.1

约去公因数。

$\frac{y' (x^{2} + 2 x y + y^{2} + x)}{x^{2} + 2 x y + y^{2} + x} = \frac{y}{x^{2} + 2 x y + y^{2} + x}$

解题步骤 5.3.4.2.1.2

用 $y'$ 除以 $1$ 。

$y' = \frac{y}{x^{2} + 2 x y + y^{2} + x}$

解题步骤 6

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x^{2} + 2 x y + y^{2} + x}$

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