微积分学示例

$\sqrt{9 x} \sin (x)$

解题步骤 1

将 $\frac{d}{d x} [\sqrt{9 x} \sin (x)]$ 重写为 $\frac{d}{d x} [3 \sqrt{x} \sin (x)]$ 。

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解题步骤 1.1

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$\frac{d}{d x} [\sqrt{3^{2} x} \sin (x)]$

解题步骤 1.2

从根式下提出各项。

$\frac{d}{d x} [3 \sqrt{x} \sin (x)]$

解题步骤 2

使用常数相乘法则求微分。

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解题步骤 2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d x} [3 x^{\frac{1}{2}} \sin (x)]$

解题步骤 2.2

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x^{\frac{1}{2}} \sin (x)$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} \sin (x)]$ 。

$3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} \sin (x)]$

解题步骤 3

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = \sin (x)$ 。

$3 (x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

解题步骤 4

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$3 (x^{\frac{1}{2}} \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

解题步骤 5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$3 (x^{\frac{1}{2}} \cos (x) + \sin (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

解题步骤 6

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$3 (x^{\frac{1}{2}} \cos (x) + \sin (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))$

解题步骤 7

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$3 (x^{\frac{1}{2}} \cos (x) + \sin (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))$

解题步骤 8

在公分母上合并分子。

$3 (x^{\frac{1}{2}} \cos (x) + \sin (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}))$

解题步骤 9

化简分子。

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解题步骤 9.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$3 (x^{\frac{1}{2}} \cos (x) + \sin (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}))$

解题步骤 9.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$3 (x^{\frac{1}{2}} \cos (x) + \sin (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}))$

解题步骤 10

将负号移到分数的前面。

$3 (x^{\frac{1}{2}} \cos (x) + \sin (x) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}))$

解题步骤 11

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

$3 (x^{\frac{1}{2}} \cos (x) + \sin (x) \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

解题步骤 12

组合 $\sin (x)$ 和 $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 。

$3 (x^{\frac{1}{2}} \cos (x) + \frac{\sin (x) x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

解题步骤 13

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$3 (x^{\frac{1}{2}} \cos (x) + \frac{\sin (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

解题步骤 14

化简。

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解题步骤 14.1

运用分配律。

$3 (x^{\frac{1}{2}} \cos (x)) + 3 \frac{\sin (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 14.2

组合 $3$ 和 $\frac{\sin (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ 。

$3 x^{\frac{1}{2}} \cos (x) + \frac{3 \sin (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

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