微积分学示例

$\ln (x^{2} (x + 1))$

解题步骤 1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = x^{2} (x + 1)$ 。

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解题步骤 1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{2} (x + 1)$ 。

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} (x + 1)]$

解题步骤 1.2

$\ln (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{1}{u}$ 。

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2} (x + 1)]$

解题步骤 1.3

使用 $x^{2} (x + 1)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{x^{2} (x + 1)} \frac{d}{d x} [x^{2} (x + 1)]$

解题步骤 2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = x + 1$ 。

$\frac{1}{x^{2} (x + 1)} (x^{2} \frac{d}{d x} [x + 1] + (x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 3

求微分。

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解题步骤 3.1

根据加法法则， $x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$\frac{1}{x^{2} (x + 1)} (x^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + (x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{x^{2} (x + 1)} (x^{2} (1 + \frac{d}{d x} [1]) + (x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 3.3

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{1}{x^{2} (x + 1)} (x^{2} (1 + 0) + (x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 3.4

化简表达式。

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解题步骤 3.4.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{x^{2} (x + 1)} (x^{2} \cdot 1 + (x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 3.4.2

将 $x^{2}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{x^{2} (x + 1)} (x^{2} + (x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 3.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{1}{x^{2} (x + 1)} (x^{2} + (x + 1) (2 x))$

解题步骤 3.6

将 $2$ 移到 $x + 1$ 的左侧。

$\frac{1}{x^{2} (x + 1)} (x^{2} + 2 \cdot (x + 1) x)$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

运用分配律。

$\frac{1}{x^{2} x + x^{2} \cdot 1} (x^{2} + 2 (x + 1) x)$

解题步骤 4.2

运用分配律。

$\frac{1}{x^{2} x + x^{2} \cdot 1} (x^{2} + (2 x + 2 \cdot 1) x)$

解题步骤 4.3

运用分配律。

$\frac{1}{x^{2} x + x^{2} \cdot 1} (x^{2} + 2 x \cdot x + 2 \cdot 1 x)$

解题步骤 4.4

合并项。

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解题步骤 4.4.1

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 4.4.1.1

将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 4.4.1.1.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1}{x^{2} x^{1} + x^{2} \cdot 1} (x^{2} + 2 x \cdot x + 2 \cdot 1 x)$

解题步骤 4.4.1.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{1}{x^{2 + 1} + x^{2} \cdot 1} (x^{2} + 2 x \cdot x + 2 \cdot 1 x)$

解题步骤 4.4.1.2

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$\frac{1}{x^{3} + x^{2} \cdot 1} (x^{2} + 2 x \cdot x + 2 \cdot 1 x)$

解题步骤 4.4.2

将 $x^{2}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{x^{3} + x^{2}} (x^{2} + 2 x \cdot x + 2 \cdot 1 x)$

解题步骤 4.4.3

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1}{x^{3} + x^{2}} (x^{2} + 2 (x^{1} x) + 2 \cdot 1 x)$

解题步骤 4.4.4

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1}{x^{3} + x^{2}} (x^{2} + 2 (x^{1} x^{1}) + 2 \cdot 1 x)$

解题步骤 4.4.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{1}{x^{3} + x^{2}} (x^{2} + 2 x^{1 + 1} + 2 \cdot 1 x)$

解题步骤 4.4.6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{1}{x^{3} + x^{2}} (x^{2} + 2 x^{2} + 2 \cdot 1 x)$

解题步骤 4.4.7

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{x^{3} + x^{2}} (x^{2} + 2 x^{2} + 2 x)$

解题步骤 4.4.8

将 $x^{2}$ 和 $2 x^{2}$ 相加。

$\frac{1}{x^{3} + x^{2}} (3 x^{2} + 2 x)$

解题步骤 4.5

重新排序 $\frac{1}{x^{3} + x^{2}} (3 x^{2} + 2 x)$ 的因式。

$(3 x^{2} + 2 x) \frac{1}{x^{3} + x^{2}}$

解题步骤 4.6

从 $x^{3} + x^{2}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

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解题步骤 4.6.1

从 $x^{3}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$(3 x^{2} + 2 x) \frac{1}{x^{2} x + x^{2}}$

解题步骤 4.6.2

乘以 $1$ 。

$(3 x^{2} + 2 x) \frac{1}{x^{2} x + x^{2} \cdot 1}$

解题步骤 4.6.3

从 $x^{2} x + x^{2} \cdot 1$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$(3 x^{2} + 2 x) \frac{1}{x^{2} (x + 1)}$

解题步骤 4.7

将 $3 x^{2} + 2 x$ 乘以 $\frac{1}{x^{2} (x + 1)}$ 。

$\frac{3 x^{2} + 2 x}{x^{2} (x + 1)}$

解题步骤 4.8

从 $3 x^{2} + 2 x$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 4.8.1

从 $3 x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x (3 x) + 2 x}{x^{2} (x + 1)}$

解题步骤 4.8.2

从 $2 x$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x (3 x) + x \cdot 2}{x^{2} (x + 1)}$

解题步骤 4.8.3

从 $x (3 x) + x \cdot 2$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x (3 x + 2)}{x^{2} (x + 1)}$

解题步骤 4.9

约去公因数。

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解题步骤 4.9.1

从 $x^{2} (x + 1)$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x (3 x + 2)}{x (x (x + 1))}$

解题步骤 4.9.2

约去公因数。

$\frac{x (3 x + 2)}{x (x (x + 1))}$

解题步骤 4.9.3

重写表达式。

$\frac{3 x + 2}{x (x + 1)}$

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