微积分学示例

$x^{2} = e^{x - y}$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (x^{2}) = \frac{d}{d x} (e^{x - y})$

解题步骤 2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 x$

解题步骤 3

对方程右边求微分。

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解题步骤 3.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = x - y$ 。

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解题步骤 3.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x - y$ 。

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x - y]$

解题步骤 3.1.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$e^{u} \frac{d}{d x} [x - y]$

解题步骤 3.1.3

使用 $x - y$ 替换所有出现的 $u$ 。

$e^{x - y} \frac{d}{d x} [x - y]$

解题步骤 3.2

求微分。

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解题步骤 3.2.1

根据加法法则， $x - y$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$ 。

$e^{x - y} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y])$

解题步骤 3.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$e^{x - y} (1 + \frac{d}{d x} [- y])$

解题步骤 3.2.3

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- y$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [y]$ 。

$e^{x - y} (1 - \frac{d}{d x} [y])$

解题步骤 3.3

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$e^{x - y} (1 - y')$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$2 x = e^{x - y} (1 - y')$

解题步骤 5

求解 $y'$ 。

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解题步骤 5.1

将方程重写为 $e^{x - y} (1 - y') = 2 x$ 。

$e^{x - y} (1 - y') = 2 x$

解题步骤 5.2

将 $e^{x - y} (1 - y') = 2 x$ 中的每一项除以 $e^{x - y}$ 并化简。

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解题步骤 5.2.1

将 $e^{x - y} (1 - y') = 2 x$ 中的每一项都除以 $e^{x - y}$ 。

$\frac{e^{x - y} (1 - y')}{e^{x - y}} = \frac{2 x}{e^{x - y}}$

解题步骤 5.2.2

化简左边。

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解题步骤 5.2.2.1

约去 $e^{x - y}$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{e^{x - y} (1 - y')}{e^{x - y}} = \frac{2 x}{e^{x - y}}$

解题步骤 5.2.2.1.2

用 $1 - y'$ 除以 $1$ 。

$1 - y' = \frac{2 x}{e^{x - y}}$

解题步骤 5.3

从等式两边同时减去 $1$ 。

$- y' = \frac{2 x}{e^{x - y}} - 1$

解题步骤 5.4

将 $- y' = \frac{2 x}{e^{x - y}} - 1$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 5.4.1

将 $- y' = \frac{2 x}{e^{x - y}} - 1$ 中的每一项都除以 $- 1$ 。

$\frac{- y'}{- 1} = \frac{\frac{2 x}{e^{x - y}}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

解题步骤 5.4.2

化简左边。

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解题步骤 5.4.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{y'}{1} = \frac{\frac{2 x}{e^{x - y}}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

解题步骤 5.4.2.2

用 $y'$ 除以 $1$ 。

$y' = \frac{\frac{2 x}{e^{x - y}}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

解题步骤 5.4.3

化简右边。

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解题步骤 5.4.3.1

化简每一项。

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解题步骤 5.4.3.1.1

移动 $\frac{\frac{2 x}{e^{x - y}}}{- 1}$ 中分母的负号。

$y' = - 1 \cdot \frac{2 x}{e^{x - y}} + \frac{- 1}{- 1}$

解题步骤 5.4.3.1.2

将 $- 1 \cdot \frac{2 x}{e^{x - y}}$ 重写为 $- \frac{2 x}{e^{x - y}}$ 。

$y' = - \frac{2 x}{e^{x - y}} + \frac{- 1}{- 1}$

解题步骤 5.4.3.1.3

用 $- 1$ 除以 $- 1$ 。

$y' = - \frac{2 x}{e^{x - y}} + 1$

解题步骤 6

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x}{e^{x - y}} + 1$

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