微积分学示例

$\frac{y}{y^{2} + x^{2}}$

解题步骤 1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ 等于 $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ ，其中 $f (y) = y$ 且 $g (y) = y^{2} + x^{2}$ 。

$\frac{(y^{2} + x^{2}) \frac{d}{d y} [y] - y \frac{d}{d y} [y^{2} + x^{2}]}{{(y^{2} + x^{2})}^{2}}$

解题步骤 2

求微分。

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解题步骤 2.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{(y^{2} + x^{2}) \cdot 1 - y \frac{d}{d y} [y^{2} + x^{2}]}{{(y^{2} + x^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.2

将 $y^{2} + x^{2}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{y^{2} + x^{2} - y \frac{d}{d y} [y^{2} + x^{2}]}{{(y^{2} + x^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.3

根据加法法则， $y^{2} + x^{2}$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [x^{2}]$ 。

$\frac{y^{2} + x^{2} - y (\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [x^{2}])}{{(y^{2} + x^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{y^{2} + x^{2} - y (2 y + \frac{d}{d y} [x^{2}])}{{(y^{2} + x^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.5

因为 $x^{2}$ 对于 $y$ 是常数，所以 $x^{2}$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{y^{2} + x^{2} - y (2 y + 0)}{{(y^{2} + x^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.6

化简表达式。

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解题步骤 2.6.1

将 $2 y$ 和 $0$ 相加。

$\frac{y^{2} + x^{2} - y (2 y)}{{(y^{2} + x^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.6.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{y^{2} + x^{2} - 2 y \cdot y}{{(y^{2} + x^{2})}^{2}}$

解题步骤 3

对 $y$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{y^{2} + x^{2} - 2 (y^{1} y)}{{(y^{2} + x^{2})}^{2}}$

解题步骤 4

对 $y$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{y^{2} + x^{2} - 2 (y^{1} y^{1})}{{(y^{2} + x^{2})}^{2}}$

解题步骤 5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{y^{2} + x^{2} - 2 y^{1 + 1}}{{(y^{2} + x^{2})}^{2}}$

解题步骤 6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{y^{2} + x^{2} - 2 y^{2}}{{(y^{2} + x^{2})}^{2}}$

解题步骤 7

从 $y^{2}$ 中减去 $2 y^{2}$ 。

$\frac{x^{2} - y^{2}}{{(y^{2} + x^{2})}^{2}}$

解题步骤 8

重新排序项。

$\frac{x^{2} - y^{2}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

微积分学 示例

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