微积分学示例

$f (x) = 12 x - x^{3}$ , $[0, 3]$

解题步骤 1

求驻点。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1.1

根据加法法则， $12 x - x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$ 。

$\frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

解题步骤 1.1.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [12 x]$ 。

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解题步骤 1.1.1.2.1

因为 $12$ 对于 $x$ 是常数，所以 $12 x$ 对 $x$ 的导数是 $12 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$12 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

解题步骤 1.1.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

解题步骤 1.1.1.2.3

将 $12$ 乘以 $1$ 。

$12 + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

解题步骤 1.1.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ 。

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解题步骤 1.1.1.3.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$12 - \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 1.1.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$12 - (3 x^{2})$

解题步骤 1.1.1.3.3

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$12 - 3 x^{2}$

解题步骤 1.1.1.4

重新排序项。

$f' (x) = - 3 x^{2} + 12$

解题步骤 1.1.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $- 3 x^{2} + 12$ 。

$- 3 x^{2} + 12$

解题步骤 1.2

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $- 3 x^{2} + 12 = 0$ 。

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解题步骤 1.2.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$- 3 x^{2} + 12 = 0$

解题步骤 1.2.2

从等式两边同时减去 $12$ 。

$- 3 x^{2} = - 12$

解题步骤 1.2.3

将 $- 3 x^{2} = - 12$ 中的每一项除以 $- 3$ 并化简。

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解题步骤 1.2.3.1

将 $- 3 x^{2} = - 12$ 中的每一项都除以 $- 3$ 。

$\frac{- 3 x^{2}}{- 3} = \frac{- 12}{- 3}$

解题步骤 1.2.3.2

化简左边。

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解题步骤 1.2.3.2.1

约去 $- 3$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{- 3 x^{2}}{- 3} = \frac{- 12}{- 3}$

解题步骤 1.2.3.2.1.2

用 $x^{2}$ 除以 $1$ 。

$x^{2} = \frac{- 12}{- 3}$

解题步骤 1.2.3.3

化简右边。

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解题步骤 1.2.3.3.1

用 $- 12$ 除以 $- 3$ 。

$x^{2} = 4$

解题步骤 1.2.4

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$x = \pm \sqrt{4}$

解题步骤 1.2.5

化简 $\pm \sqrt{4}$ 。

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解题步骤 1.2.5.1

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

解题步骤 1.2.5.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$x = \pm 2$

解题步骤 1.2.6

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 1.2.6.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = 2$

解题步骤 1.2.6.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - 2$

解题步骤 1.2.6.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = 2, - 2$

解题步骤 1.3

求使导数无意义的值。

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解题步骤 1.3.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

解题步骤 1.4

对每个导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 值，计算 $12 x - x^{3}$ 。

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解题步骤 1.4.1

在 $x = 2$ 处计算

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解题步骤 1.4.1.1

代入 $2$ 替换 $x$ 。

$12 (2) - {(2)}^{3}$

解题步骤 1.4.1.2

化简。

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解题步骤 1.4.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 1.4.1.2.1.1

将 $12$ 乘以 $2$ 。

$24 - {(2)}^{3}$

解题步骤 1.4.1.2.1.2

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$24 - 1 \cdot 8$

解题步骤 1.4.1.2.1.3

将 $- 1$ 乘以 $8$ 。

$24 - 8$

解题步骤 1.4.1.2.2

从 $24$ 中减去 $8$ 。

$16$

解题步骤 1.4.2

在 $x = - 2$ 处计算

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解题步骤 1.4.2.1

代入 $- 2$ 替换 $x$ 。

$12 (- 2) - {(- 2)}^{3}$

解题步骤 1.4.2.2

化简。

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解题步骤 1.4.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 1.4.2.2.1.1

将 $12$ 乘以 $- 2$ 。

$- 24 - {(- 2)}^{3}$

解题步骤 1.4.2.2.1.2

对 $- 2$ 进行 $3$ 次方运算。

$- 24 - - 8$

解题步骤 1.4.2.2.1.3

将 $- 1$ 乘以 $- 8$ 。

$- 24 + 8$

解题步骤 1.4.2.2.2

将 $- 24$ 和 $8$ 相加。

$- 16$

解题步骤 1.4.3

列出所有的点。

$(2, 16), (- 2, - 16)$

解题步骤 2

排除不在区间内的点。

$(2, 16)$

解题步骤 3

计算闭区间端点处的值。

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解题步骤 3.1

在 $x = 0$ 处计算

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解题步骤 3.1.1

代入 $0$ 替换 $x$ 。

$12 (0) - {(0)}^{3}$

解题步骤 3.1.2

化简。

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解题步骤 3.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 3.1.2.1.1

将 $12$ 乘以 $0$ 。

$0 - {(0)}^{3}$

解题步骤 3.1.2.1.2

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$0 - 0$

解题步骤 3.1.2.1.3

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$0 + 0$

解题步骤 3.1.2.2

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$0$

解题步骤 3.2

在 $x = 3$ 处计算

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解题步骤 3.2.1

代入 $3$ 替换 $x$ 。

$12 (3) - {(3)}^{3}$

解题步骤 3.2.2

化简。

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解题步骤 3.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 3.2.2.1.1

将 $12$ 乘以 $3$ 。

$36 - {(3)}^{3}$

解题步骤 3.2.2.1.2

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$36 - 1 \cdot 27$

解题步骤 3.2.2.1.3

将 $- 1$ 乘以 $27$ 。

$36 - 27$

解题步骤 3.2.2.2

从 $36$ 中减去 $27$ 。

$9$

解题步骤 3.3

列出所有的点。

$(0, 0), (3, 9)$

解题步骤 4

将每个 $x$ 的值对应所得的 $f (x)$ 的值进行比较，以确定给定区间上的最大绝对值和最小绝对值。最大值在取最高值 $f (x)$ 时产生，而最小值在取最低值 $f (x)$ 时产生。

最大绝对值： $(2, 16)$

最小绝对值： $(0, 0)$

解题步骤 5

微积分学 示例

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