微积分学示例

$\frac{d}{d x} (\frac{1}{3} \sqrt{{(x^{2} + y^{2})}^{3}})$

解题步骤 1

将 $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} \sqrt{{(x^{2} + y^{2})}^{3}}]$ 重写为 $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} ((x^{2} + y^{2}) \sqrt{x^{2} + y^{2}})]$ 。

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解题步骤 1.1

因式分解出 ${(x^{2} + y^{2})}^{2}$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} \sqrt{{(x^{2} + y^{2})}^{2} (x^{2} + y^{2})}]$

解题步骤 1.2

从根式下提出各项。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} ((x^{2} + y^{2}) \sqrt{x^{2} + y^{2}})]$

解题步骤 2

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x^{2} + y^{2}}$ 重写成 ${(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} ((x^{2} + y^{2}) {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})]$

解题步骤 3

通过指数相加将 $x^{2} + y^{2}$ 乘以 ${(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 3.1

将 $x^{2} + y^{2}$ 乘以 ${(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 3.1.1

对 $x^{2} + y^{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} ({(x^{2} + y^{2})}^{1} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})]$

解题步骤 3.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} {(x^{2} + y^{2})}^{1 + \frac{1}{2}}]$

解题步骤 3.2

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}]$

解题步骤 3.3

在公分母上合并分子。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{2 + 1}{2}}]$

解题步骤 3.4

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{3}{2}}]$

解题步骤 4

因为 $\frac{1}{3}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{1}{3} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{3}{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{3}{2}}]$ 。

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{3}{2}}]$

解题步骤 5

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{3}{2}}$ 且 $g (x) = x^{2} + y^{2}$ 。

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解题步骤 5.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{2} + y^{2}$ 。

$\frac{1}{3} (\frac{d}{d u} [u^{\frac{3}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

解题步骤 5.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{3}{2}$ 。

$\frac{1}{3} (\frac{3}{2} u^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

解题步骤 5.3

使用 $x^{2} + y^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{3} (\frac{3}{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

解题步骤 6

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{3} (\frac{3}{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

解题步骤 7

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{3} (\frac{3}{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

解题步骤 8

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{3} (\frac{3}{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

解题步骤 9

化简分子。

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解题步骤 9.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{3} (\frac{3}{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{3 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

解题步骤 9.2

从 $3$ 中减去 $2$ 。

$\frac{1}{3} (\frac{3}{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

解题步骤 10

组合 $\frac{3}{2}$ 和 ${(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{1}{3} (\frac{3 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

解题步骤 11

将 $\frac{3 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2}$ 乘以 $\frac{1}{3}$ 。

$\frac{3 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 \cdot 3} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

解题步骤 12

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$\frac{3 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{6} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

解题步骤 13

从 $3 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 ({(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})}{6} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

解题步骤 14

约去公因数。

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解题步骤 14.1

从 $6$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{3 \cdot 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

解题步骤 14.2

约去公因数。

$\frac{3 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{3 \cdot 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

解题步骤 14.3

重写表达式。

$\frac{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

解题步骤 15

根据加法法则， $x^{2} + y^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ 。

$\frac{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

解题步骤 16

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2} (2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

解题步骤 17

因为 $y^{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $y^{2}$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2} (2 x + 0)$

解题步骤 18

化简项。

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解题步骤 18.1

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2} (2 x)$

解题步骤 18.2

组合 $2$ 和 $\frac{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2}$ 。

$\frac{2 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2} x$

解题步骤 18.3

组合 $\frac{2 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2}$ 和 $x$ 。

$\frac{2 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} x}{2}$

解题步骤 18.4

约去公因数。

$\frac{2 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} x}{2}$

解题步骤 18.5

化简表达式。

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解题步骤 18.5.1

用 ${(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} x$ 除以 $1$ 。

${(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} x$

解题步骤 18.5.2

重新排序 ${(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} x$ 的因式。

$x {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$

微积分学 示例

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