微积分学示例

$y = \frac{2}{\sqrt[6]{5 x^{2} - 1}}$

解题步骤 1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[6]{5 x^{2} - 1}$ 重写成 ${(5 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{6}}$ 。

$y = \frac{2}{{(5 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{6}}}$

解题步骤 2

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{2}{{(5 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{6}}})$

解题步骤 3

$y$ 对 $x$ 的导数为 $y'$ 。

$y'$

解题步骤 4

对方程右边求微分。

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解题步骤 4.1

使用常数相乘法则求微分。

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解题步骤 4.1.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{2}{{(5 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{6}}}$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(5 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{6}}}]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(5 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{6}}}]$

解题步骤 4.1.2

应用指数的基本规则。

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解题步骤 4.1.2.1

将 $\frac{1}{{(5 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{6}}}$ 重写为 ${({(5 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{6}})}^{- 1}$ 。

$2 \frac{d}{d x} [{({(5 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{6}})}^{- 1}]$

解题步骤 4.1.2.2

将 ${({(5 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{6}})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 4.1.2.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$2 \frac{d}{d x} [{(5 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{6} \cdot - 1}]$

解题步骤 4.1.2.2.2

组合 $\frac{1}{6}$ 和 $- 1$ 。

$2 \frac{d}{d x} [{(5 x^{2} - 1)}^{\frac{- 1}{6}}]$

解题步骤 4.1.2.2.3

将负号移到分数的前面。

$2 \frac{d}{d x} [{(5 x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{6}}]$

解题步骤 4.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- \frac{1}{6}}$ 且 $g (x) = 5 x^{2} - 1$ 。

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解题步骤 4.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $5 x^{2} - 1$ 。

$2 (\frac{d}{d u} [u^{- \frac{1}{6}}] \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 1])$

解题步骤 4.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = - \frac{1}{6}$ 。

$2 (- \frac{1}{6} u^{- \frac{1}{6} - 1} \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 1])$

解题步骤 4.2.3

使用 $5 x^{2} - 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$2 (- \frac{1}{6} {(5 x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{6} - 1} \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 1])$

解题步骤 4.3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{6}{6}$ 。

$2 (- \frac{1}{6} {(5 x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{6} - 1 \cdot \frac{6}{6}} \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 1])$

解题步骤 4.4

组合 $- 1$ 和 $\frac{6}{6}$ 。

$2 (- \frac{1}{6} {(5 x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{6} + \frac{- 1 \cdot 6}{6}} \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 1])$

解题步骤 4.5

在公分母上合并分子。

$2 (- \frac{1}{6} {(5 x^{2} - 1)}^{\frac{- 1 - 1 \cdot 6}{6}} \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 1])$

解题步骤 4.6

化简分子。

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解题步骤 4.6.1

将 $- 1$ 乘以 $6$ 。

$2 (- \frac{1}{6} {(5 x^{2} - 1)}^{\frac{- 1 - 6}{6}} \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 1])$

解题步骤 4.6.2

从 $- 1$ 中减去 $6$ 。

$2 (- \frac{1}{6} {(5 x^{2} - 1)}^{\frac{- 7}{6}} \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 1])$

解题步骤 4.7

将负号移到分数的前面。

$2 (- \frac{1}{6} {(5 x^{2} - 1)}^{- \frac{7}{6}} \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 1])$

解题步骤 4.8

组合 ${(5 x^{2} - 1)}^{- \frac{7}{6}}$ 和 $\frac{1}{6}$ 。

$2 (- \frac{{(5 x^{2} - 1)}^{- \frac{7}{6}}}{6} \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 1])$

解题步骤 4.9

化简表达式。

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解题步骤 4.9.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(5 x^{2} - 1)}^{- \frac{7}{6}}$ 移动到分母。

$2 (- \frac{1}{6 {(5 x^{2} - 1)}^{\frac{7}{6}}} \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 1])$

解题步骤 4.9.2

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$- 2 (\frac{1}{6 {(5 x^{2} - 1)}^{\frac{7}{6}}} \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 1])$

解题步骤 4.10

组合 $\frac{1}{6 {(5 x^{2} - 1)}^{\frac{7}{6}}}$ 和 $- 2$ 。

$\frac{- 2}{6 {(5 x^{2} - 1)}^{\frac{7}{6}}} \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 1]$

解题步骤 4.11

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (- 1)}{6 {(5 x^{2} - 1)}^{\frac{7}{6}}} \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 1]$

解题步骤 4.12

约去公因数。

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解题步骤 4.12.1

从 $6 {(5 x^{2} - 1)}^{\frac{7}{6}}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (- 1)}{2 (3 {(5 x^{2} - 1)}^{\frac{7}{6}})} \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 1]$

解题步骤 4.12.2

约去公因数。

$\frac{2 \cdot - 1}{2 (3 {(5 x^{2} - 1)}^{\frac{7}{6}})} \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 1]$

解题步骤 4.12.3

重写表达式。

$\frac{- 1}{3 {(5 x^{2} - 1)}^{\frac{7}{6}}} \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 1]$

解题步骤 4.13

将负号移到分数的前面。

$- \frac{1}{3 {(5 x^{2} - 1)}^{\frac{7}{6}}} \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 1]$

解题步骤 4.14

根据加法法则， $5 x^{2} - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$- \frac{1}{3 {(5 x^{2} - 1)}^{\frac{7}{6}}} (\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1])$

解题步骤 4.15

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$- \frac{1}{3 {(5 x^{2} - 1)}^{\frac{7}{6}}} (5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1])$

解题步骤 4.16

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$- \frac{1}{3 {(5 x^{2} - 1)}^{\frac{7}{6}}} (5 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 1])$

解题步骤 4.17

将 $2$ 乘以 $5$ 。

$- \frac{1}{3 {(5 x^{2} - 1)}^{\frac{7}{6}}} (10 x + \frac{d}{d x} [- 1])$

解题步骤 4.18

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$- \frac{1}{3 {(5 x^{2} - 1)}^{\frac{7}{6}}} (10 x + 0)$

解题步骤 4.19

合并分数。

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解题步骤 4.19.1

将 $10 x$ 和 $0$ 相加。

$- \frac{1}{3 {(5 x^{2} - 1)}^{\frac{7}{6}}} (10 x)$

解题步骤 4.19.2

将 $10$ 乘以 $- 1$ 。

$- 10 \frac{1}{3 {(5 x^{2} - 1)}^{\frac{7}{6}}} x$

解题步骤 4.19.3

组合 $- 10$ 和 $\frac{1}{3 {(5 x^{2} - 1)}^{\frac{7}{6}}}$ 。

$\frac{- 10}{3 {(5 x^{2} - 1)}^{\frac{7}{6}}} x$

解题步骤 4.19.4

组合 $\frac{- 10}{3 {(5 x^{2} - 1)}^{\frac{7}{6}}}$ 和 $x$ 。

$\frac{- 10 x}{3 {(5 x^{2} - 1)}^{\frac{7}{6}}}$

解题步骤 4.19.5

将负号移到分数的前面。

$- \frac{10 x}{3 {(5 x^{2} - 1)}^{\frac{7}{6}}}$

解题步骤 5

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$y' = - \frac{10 x}{3 {(5 x^{2} - 1)}^{\frac{7}{6}}}$

解题步骤 6

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{10 x}{3 {(5 x^{2} - 1)}^{\frac{7}{6}}}$

微积分学 示例

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