微积分学示例

$f (x) = x^{2} + \frac{8}{x}$

解题步骤 1

求二阶导数。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

求微分。

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解题步骤 1.1.1.1

根据加法法则， $x^{2} + \frac{8}{x}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{8}{x}]$ 。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (\frac{8}{x})$

解题步骤 1.1.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f' (x) = 2 x + \frac{d}{d x} (\frac{8}{x})$

解题步骤 1.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{8}{x}]$ 。

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解题步骤 1.1.2.1

因为 $8$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{8}{x}$ 对 $x$ 的导数是 $8 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ 。

$f' (x) = 2 x + 8 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x})$

解题步骤 1.1.2.2

将 $\frac{1}{x}$ 重写为 $x^{- 1}$ 。

$f' (x) = 2 x + 8 \frac{d}{d x} (x^{- 1})$

解题步骤 1.1.2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$f' (x) = 2 x + 8 (- x^{- 2})$

解题步骤 1.1.2.4

将 $- 1$ 乘以 $8$ 。

$f' (x) = 2 x - 8 x^{- 2}$

解题步骤 1.1.3

化简。

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解题步骤 1.1.3.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$f' (x) = 2 x - 8 \frac{1}{x^{2}}$

解题步骤 1.1.3.2

合并项。

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解题步骤 1.1.3.2.1

组合 $- 8$ 和 $\frac{1}{x^{2}}$ 。

$f' (x) = 2 x + \frac{- 8}{x^{2}}$

解题步骤 1.1.3.2.2

将负号移到分数的前面。

$f' (x) = 2 x - \frac{8}{x^{2}}$

解题步骤 1.2

求二阶导数。

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解题步骤 1.2.1

根据加法法则， $2 x - \frac{8}{x^{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{8}{x^{2}}]$ 。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- \frac{8}{x^{2}})$

解题步骤 1.2.2

计算 $\frac{d}{d x} [2 x]$ 。

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解题步骤 1.2.2.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- \frac{8}{x^{2}})$

解题步骤 1.2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- \frac{8}{x^{2}})$

解题步骤 1.2.2.3

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = 2 + \frac{d}{d x} (- \frac{8}{x^{2}})$

解题步骤 1.2.3

计算 $\frac{d}{d x} [- \frac{8}{x^{2}}]$ 。

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解题步骤 1.2.3.1

因为 $- 8$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \frac{8}{x^{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $- 8 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ 。

$f'' (x) = 2 - 8 \frac{d}{d x} \frac{1}{x^{2}}$

解题步骤 1.2.3.2

将 $\frac{1}{x^{2}}$ 重写为 ${(x^{2})}^{- 1}$ 。

$f'' (x) = 2 - 8 \frac{d}{d x} {(x^{2})}^{- 1}$

解题步骤 1.2.3.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- 1}$ 且 $g (x) = x^{2}$ 。

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解题步骤 1.2.3.3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{2}$ 。

$f'' (x) = 2 - 8 (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

解题步骤 1.2.3.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$f'' (x) = 2 - 8 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2})$

解题步骤 1.2.3.3.3

使用 $x^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f'' (x) = 2 - 8 (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2})$

解题步骤 1.2.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f'' (x) = 2 - 8 (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x))$

解题步骤 1.2.3.5

将 ${(x^{2})}^{- 2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 1.2.3.5.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f'' (x) = 2 - 8 (- x^{2 \cdot - 2} (2 x))$

解题步骤 1.2.3.5.2

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$f'' (x) = 2 - 8 (- x^{- 4} (2 x))$

解题步骤 1.2.3.6

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$f'' (x) = 2 - 8 (- 2 x^{- 4} x)$

解题步骤 1.2.3.7

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = 2 - 8 (- 2 (x \cdot x^{- 4}))$

解题步骤 1.2.3.8

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = 2 - 8 (- 2 x^{1 - 4})$

解题步骤 1.2.3.9

从 $1$ 中减去 $4$ 。

$f'' (x) = 2 - 8 (- 2 x^{- 3})$

解题步骤 1.2.3.10

将 $- 2$ 乘以 $- 8$ 。

$f'' (x) = 2 + 16 x^{- 3}$

解题步骤 1.2.4

化简。

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解题步骤 1.2.4.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$f'' (x) = 2 + 16 (\frac{1}{x^{3}})$

解题步骤 1.2.4.2

组合 $16$ 和 $\frac{1}{x^{3}}$ 。

$f'' (x) = 2 + \frac{16}{x^{3}}$

解题步骤 1.2.4.3

重新排序项。

$f'' (x) = \frac{16}{x^{3}} + 2$

解题步骤 1.3

$f (x)$ 对 $x$ 的二阶导数是 $\frac{16}{x^{3}} + 2$ 。

$\frac{16}{x^{3}} + 2$

解题步骤 2

使二阶导数等于 $0$ ，然后求解方程 $\frac{16}{x^{3}} + 2 = 0$ 。

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解题步骤 2.1

将二阶导数设为等于 $0$ 。

$\frac{16}{x^{3}} + 2 = 0$

解题步骤 2.2

从等式两边同时减去 $2$ 。

$\frac{16}{x^{3}} = - 2$

解题步骤 2.3

求方程中各项的最小公分母 (LCD)。

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解题步骤 2.3.1

求一列数值的最小公分母 (LCD) 等同于求这些数值的分母的最小公倍数 (LCM)。

$x^{3}, 1$

解题步骤 2.3.2

1 和任何表达式的最小公倍数就是该表达式。

$x^{3}$

解题步骤 2.4

将 $\frac{16}{x^{3}} = - 2$ 中的每一项乘以 $x^{3}$ 以消去分数。

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解题步骤 2.4.1

将 $\frac{16}{x^{3}} = - 2$ 中的每一项乘以 $x^{3}$ 。

$\frac{16}{x^{3}} x^{3} = - 2 x^{3}$

解题步骤 2.4.2

化简左边。

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解题步骤 2.4.2.1

约去 $x^{3}$ 的公因数。

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解题步骤 2.4.2.1.1

约去公因数。

$\frac{16}{x^{3}} x^{3} = - 2 x^{3}$

解题步骤 2.4.2.1.2

重写表达式。

$16 = - 2 x^{3}$

解题步骤 2.5

求解方程。

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解题步骤 2.5.1

将方程重写为 $- 2 x^{3} = 16$ 。

$- 2 x^{3} = 16$

解题步骤 2.5.2

从等式两边同时减去 $16$ 。

$- 2 x^{3} - 16 = 0$

解题步骤 2.5.3

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 2.5.3.1

从 $- 2 x^{3} - 16$ 中分解出因数 $- 2$ 。

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解题步骤 2.5.3.1.1

从 $- 2 x^{3}$ 中分解出因数 $- 2$ 。

$- 2 x^{3} - 16 = 0$

解题步骤 2.5.3.1.2

从 $- 16$ 中分解出因数 $- 2$ 。

$- 2 x^{3} - 2 \cdot 8 = 0$

解题步骤 2.5.3.1.3

从 $- 2 (x^{3}) - 2 (8)$ 中分解出因数 $- 2$ 。

$- 2 (x^{3} + 8) = 0$

解题步骤 2.5.3.2

将 $8$ 重写为 $2^{3}$ 。

$- 2 (x^{3} + 2^{3}) = 0$

解题步骤 2.5.3.3

因为两项都是完全立方数，所以使用立方和公式 $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 2$ 。

$- 2 ((x + 2) (x^{2} - x \cdot 2 + 2^{2})) = 0$

解题步骤 2.5.3.4

因数。

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解题步骤 2.5.3.4.1

化简。

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解题步骤 2.5.3.4.1.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$- 2 ((x + 2) (x^{2} - 2 x + 2^{2})) = 0$

解题步骤 2.5.3.4.1.2

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$- 2 ((x + 2) (x^{2} - 2 x + 4)) = 0$

解题步骤 2.5.3.4.2

去掉多余的括号。

$- 2 (x + 2) (x^{2} - 2 x + 4) = 0$

解题步骤 2.5.4

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x + 2 = 0$

$x^{2} - 2 x + 4 = 0$

解题步骤 2.5.5

将 $x + 2$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.5.5.1

将 $x + 2$ 设为等于 $0$ 。

$x + 2 = 0$

解题步骤 2.5.5.2

从等式两边同时减去 $2$ 。

$x = - 2$

解题步骤 2.5.6

将 $x^{2} - 2 x + 4$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.5.6.1

将 $x^{2} - 2 x + 4$ 设为等于 $0$ 。

$x^{2} - 2 x + 4 = 0$

解题步骤 2.5.6.2

求解 $x$ 的 $x^{2} - 2 x + 4 = 0$ 。

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解题步骤 2.5.6.2.1

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 2.5.6.2.2

将 $a = 1$ 、 $b = - 2$ 和 $c = 4$ 的值代入二次公式中并求解 $x$ 。

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 4)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.5.6.2.3

化简。

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解题步骤 2.5.6.2.3.1

化简分子。

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解题步骤 2.5.6.2.3.1.1

对 $- 2$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.5.6.2.3.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ 。

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解题步骤 2.5.6.2.3.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.5.6.2.3.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $4$ 。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.5.6.2.3.1.3

从 $4$ 中减去 $16$ 。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.5.6.2.3.1.4

将 $- 12$ 重写为 $- 1 (12)$ 。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.5.6.2.3.1.5

将 $\sqrt{- 1 (12)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ 。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.5.6.2.3.1.6

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.5.6.2.3.1.7

将 $12$ 重写为 $2^{2} \cdot 3$ 。

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解题步骤 2.5.6.2.3.1.7.1

从 $12$ 中分解出因数 $4$ 。

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.5.6.2.3.1.7.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.5.6.2.3.1.8

从根式下提出各项。

$x = \frac{2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.5.6.2.3.1.9

将 $2$ 移到 $i$ 的左侧。

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.5.6.2.3.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 2.5.6.2.3.3

化简 $\frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ 。

$x = 1 \pm i \sqrt{3}$

解题步骤 2.5.6.2.4

化简表达式以求 $\pm$ 在 $+$ 部分的解。

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解题步骤 2.5.6.2.4.1

化简分子。

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解题步骤 2.5.6.2.4.1.1

对 $- 2$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.5.6.2.4.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ 。

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解题步骤 2.5.6.2.4.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.5.6.2.4.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $4$ 。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.5.6.2.4.1.3

从 $4$ 中减去 $16$ 。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.5.6.2.4.1.4

将 $- 12$ 重写为 $- 1 (12)$ 。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.5.6.2.4.1.5

将 $\sqrt{- 1 (12)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ 。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.5.6.2.4.1.6

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.5.6.2.4.1.7

将 $12$ 重写为 $2^{2} \cdot 3$ 。

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解题步骤 2.5.6.2.4.1.7.1

从 $12$ 中分解出因数 $4$ 。

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.5.6.2.4.1.7.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.5.6.2.4.1.8

从根式下提出各项。

$x = \frac{2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.5.6.2.4.1.9

将 $2$ 移到 $i$ 的左侧。

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.5.6.2.4.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 2.5.6.2.4.3

化简 $\frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ 。

$x = 1 \pm i \sqrt{3}$

解题步骤 2.5.6.2.4.4

将 $\pm$ 变换为 $+$ 。

$x = 1 + i \sqrt{3}$

解题步骤 2.5.6.2.5

化简表达式以求 $\pm$ 在 $-$ 部分的解。

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解题步骤 2.5.6.2.5.1

化简分子。

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解题步骤 2.5.6.2.5.1.1

对 $- 2$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.5.6.2.5.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ 。

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解题步骤 2.5.6.2.5.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.5.6.2.5.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $4$ 。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.5.6.2.5.1.3

从 $4$ 中减去 $16$ 。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.5.6.2.5.1.4

将 $- 12$ 重写为 $- 1 (12)$ 。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.5.6.2.5.1.5

将 $\sqrt{- 1 (12)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ 。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.5.6.2.5.1.6

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.5.6.2.5.1.7

将 $12$ 重写为 $2^{2} \cdot 3$ 。

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解题步骤 2.5.6.2.5.1.7.1

从 $12$ 中分解出因数 $4$ 。

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.5.6.2.5.1.7.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.5.6.2.5.1.8

从根式下提出各项。

$x = \frac{2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.5.6.2.5.1.9

将 $2$ 移到 $i$ 的左侧。

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.5.6.2.5.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 2.5.6.2.5.3

化简 $\frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ 。

$x = 1 \pm i \sqrt{3}$

解题步骤 2.5.6.2.5.4

将 $\pm$ 变换为 $-$ 。

$x = 1 - i \sqrt{3}$

解题步骤 2.5.6.2.6

最终答案为两个解的组合。

$x = 1 + i \sqrt{3}, 1 - i \sqrt{3}$

解题步骤 2.5.7

最终解为使 $- 2 (x + 2) (x^{2} - 2 x + 4) = 0$ 成立的所有值。

$x = - 2, 1 + i \sqrt{3}, 1 - i \sqrt{3}$

解题步骤 3

求二阶导数为 $0$ 的点。

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解题步骤 3.1

将 $- 2$ 代入 $f (x) = x^{2} + \frac{8}{x}$ 以求 $y$ 的值。

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解题步骤 3.1.1

使用表达式中的 $- 2$ 替换变量 $x$ 。

$f (- 2) = {(- 2)}^{2} + \frac{8}{- 2}$

解题步骤 3.1.2

化简结果。

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解题步骤 3.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 3.1.2.1.1

对 $- 2$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (- 2) = 4 + \frac{8}{- 2}$

解题步骤 3.1.2.1.2

用 $8$ 除以 $- 2$ 。

$f (- 2) = 4 - 4$

解题步骤 3.1.2.2

从 $4$ 中减去 $4$ 。

$f (- 2) = 0$

解题步骤 3.1.2.3

最终答案为 $0$ 。

$0$

解题步骤 3.2

通过将 $- 2$ 代入 $f (x) = x^{2} + \frac{8}{x}$ 中求得的点为 $(- 2, 0)$ 。这个点可能是一个拐点。

$(- 2, 0)$

解题步骤 4

分解 $(- \infty, \infty)$ 到各点周围的区间中，这些点有可能是拐点。

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, \infty)$

解题步骤 5

将区间 $(- \infty, - 2)$ 中的一个值代入二阶导数以判断它是递增还是递减。

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解题步骤 5.1

使用表达式中的 $- 2.1$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (- 2.1) = \frac{16}{{(- 2.1)}^{3}} + 2$

解题步骤 5.2

化简结果。

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解题步骤 5.2.1

化简每一项。

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解题步骤 5.2.1.1

对 $- 2.1$ 进行 $3$ 次方运算。

$f'' (- 2.1) = \frac{16}{- 9.261} + 2$

解题步骤 5.2.1.2

用 $16$ 除以 $- 9.261$ 。

$f'' (- 2.1) = - 1.72767519 + 2$

解题步骤 5.2.2

将 $- 1.72767519$ 和 $2$ 相加。

$f'' (- 2.1) = 0.2723248$

解题步骤 5.2.3

最终答案为 $0.2723248$ 。

$0.2723248$

解题步骤 5.3

在 $- 2.1$ 处，二阶导数为 $0.2723248$ 。由于其值为正，二阶导数在区间 $(- \infty, - 2)$ 上递增。

因为 $f'' (x) > 0$ ，所以函数在 $(- \infty, - 2)$ 上递增

解题步骤 6

将区间 $(- 2, \infty)$ 中的一个值代入二阶导数以判断它是递增还是递减。

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解题步骤 6.1

使用表达式中的 $- 1.9$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (- 1.9) = \frac{16}{{(- 1.9)}^{3}} + 2$

解题步骤 6.2

化简结果。

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解题步骤 6.2.1

化简每一项。

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解题步骤 6.2.1.1

对 $- 1.9$ 进行 $3$ 次方运算。

$f'' (- 1.9) = \frac{16}{- 6.859} + 2$

解题步骤 6.2.1.2

用 $16$ 除以 $- 6.859$ 。

$f'' (- 1.9) = - 2.33270155 + 2$

解题步骤 6.2.2

将 $- 2.33270155$ 和 $2$ 相加。

$f'' (- 1.9) = - 0.33270155$

解题步骤 6.2.3

最终答案为 $- 0.33270155$ 。

$- 0.33270155$

解题步骤 6.3

在 $- 1.9$ ，二阶导数为 $- 0.33270155$ 。因为该值是负数，所以该二阶导数在区间 $(- 2, \infty)$ 上递减

因为 $f'' (x) < 0$ ，所以在 $(- 2, \infty)$ 上递减

解题步骤 7

曲线上的拐点是该曲线凹凸性符号由正变为负或由负变为正时的点。本例中，拐点为 $(- 2, 0)$ 。

$(- 2, 0)$

解题步骤 8

微积分学 示例

微积分学示例