微积分学 示例

求凹凸性 -2/5x^6+5x^4
-25x6+5x425x6+5x4
解题步骤 1
-25x6+5x4 书写为一个函数。
f(x)=-25x6+5x4
解题步骤 2
Find the x values where the second derivative is equal to 0.
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解题步骤 2.1
求二阶导数。
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解题步骤 2.1.1
求一阶导数。
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解题步骤 2.1.1.1
根据加法法则,-25x6+5x4x 的导数是 ddx[-25x6]+ddx[5x4]
ddx[-25x6]+ddx[5x4]
解题步骤 2.1.1.2
计算 ddx[-25x6]
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解题步骤 2.1.1.2.1
因为 -25 对于 x 是常数,所以 -25x6x 的导数是 -25ddx[x6]
-25ddx[x6]+ddx[5x4]
解题步骤 2.1.1.2.2
使用幂法则求微分,根据该法则,ddx[xn] 等于 nxn-1,其中 n=6
-25(6x5)+ddx[5x4]
解题步骤 2.1.1.2.3
6 乘以 -1
-6(25)x5+ddx[5x4]
解题步骤 2.1.1.2.4
组合 -625
-625x5+ddx[5x4]
解题步骤 2.1.1.2.5
-6 乘以 2
-125x5+ddx[5x4]
解题步骤 2.1.1.2.6
组合 -125x5
-12x55+ddx[5x4]
解题步骤 2.1.1.2.7
将负号移到分数的前面。
-12x55+ddx[5x4]
-12x55+ddx[5x4]
解题步骤 2.1.1.3
计算 ddx[5x4]
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解题步骤 2.1.1.3.1
因为 5 对于 x 是常数,所以 5x4x 的导数是 5ddx[x4]
-12x55+5ddx[x4]
解题步骤 2.1.1.3.2
使用幂法则求微分,根据该法则,ddx[xn] 等于 nxn-1,其中 n=4
-12x55+5(4x3)
解题步骤 2.1.1.3.3
4 乘以 5
f(x)=-12x55+20x3
f(x)=-12x55+20x3
f(x)=-12x55+20x3
解题步骤 2.1.2
求二阶导数。
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解题步骤 2.1.2.1
根据加法法则,-12x55+20x3x 的导数是 ddx[-12x55]+ddx[20x3]
ddx[-12x55]+ddx[20x3]
解题步骤 2.1.2.2
计算 ddx[-12x55]
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解题步骤 2.1.2.2.1
因为 -125 对于 x 是常数,所以 -12x55x 的导数是 -125ddx[x5]
-125ddx[x5]+ddx[20x3]
解题步骤 2.1.2.2.2
使用幂法则求微分,根据该法则,ddx[xn] 等于 nxn-1,其中 n=5
-125(5x4)+ddx[20x3]
解题步骤 2.1.2.2.3
5 乘以 -1
-5(125)x4+ddx[20x3]
解题步骤 2.1.2.2.4
组合 -5125
-5125x4+ddx[20x3]
解题步骤 2.1.2.2.5
-5 乘以 12
-605x4+ddx[20x3]
解题步骤 2.1.2.2.6
组合 -605x4
-60x45+ddx[20x3]
解题步骤 2.1.2.2.7
约去 -605 的公因数。
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解题步骤 2.1.2.2.7.1
-60x4 中分解出因数 5
5(-12x4)5+ddx[20x3]
解题步骤 2.1.2.2.7.2
约去公因数。
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解题步骤 2.1.2.2.7.2.1
5 中分解出因数 5
5(-12x4)5(1)+ddx[20x3]
解题步骤 2.1.2.2.7.2.2
约去公因数。
5(-12x4)51+ddx[20x3]
解题步骤 2.1.2.2.7.2.3
重写表达式。
-12x41+ddx[20x3]
解题步骤 2.1.2.2.7.2.4
-12x4 除以 1
-12x4+ddx[20x3]
-12x4+ddx[20x3]
-12x4+ddx[20x3]
-12x4+ddx[20x3]
解题步骤 2.1.2.3
计算 ddx[20x3]
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解题步骤 2.1.2.3.1
因为 20 对于 x 是常数,所以 20x3x 的导数是 20ddx[x3]
-12x4+20ddx[x3]
解题步骤 2.1.2.3.2
使用幂法则求微分,根据该法则,ddx[xn] 等于 nxn-1,其中 n=3
-12x4+20(3x2)
解题步骤 2.1.2.3.3
3 乘以 20
f(x)=-12x4+60x2
f(x)=-12x4+60x2
f(x)=-12x4+60x2
解题步骤 2.1.3
f(x)x 的二阶导数是 -12x4+60x2
-12x4+60x2
-12x4+60x2
解题步骤 2.2
使二阶导数等于 0,然后求解方程 -12x4+60x2=0
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解题步骤 2.2.1
将二阶导数设为等于 0
-12x4+60x2=0
解题步骤 2.2.2
对方程左边进行因式分解。
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解题步骤 2.2.2.1
x4 重写为 (x2)2
-12(x2)2+60x2=0
解题步骤 2.2.2.2
使 u=x2。用 u 代入替换所有出现的 x2
-12u2+60u=0
解题步骤 2.2.2.3
-12u2+60u 中分解出因数 12u
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解题步骤 2.2.2.3.1
-12u2 中分解出因数 12u
12u(-u)+60u=0
解题步骤 2.2.2.3.2
60u 中分解出因数 12u
12u(-u)+12u(5)=0
解题步骤 2.2.2.3.3
12u(-u)+12u(5) 中分解出因数 12u
12u(-u+5)=0
12u(-u+5)=0
解题步骤 2.2.2.4
使用 x2 替换所有出现的 u
12x2(-x2+5)=0
12x2(-x2+5)=0
解题步骤 2.2.3
如果等式左侧的任一因数等于 0,则整个表达式将等于 0
x2=0
-x2+5=0
解题步骤 2.2.4
x2 设为等于 0 并求解 x
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解题步骤 2.2.4.1
x2 设为等于 0
x2=0
解题步骤 2.2.4.2
求解 xx2=0
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解题步骤 2.2.4.2.1
取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。
x=±0
解题步骤 2.2.4.2.2
化简 ±0
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解题步骤 2.2.4.2.2.1
0 重写为 02
x=±02
解题步骤 2.2.4.2.2.2
假设各项均为正实数,从根式下提出各项。
x=±0
解题步骤 2.2.4.2.2.3
正负 00
x=0
x=0
x=0
x=0
解题步骤 2.2.5
-x2+5 设为等于 0 并求解 x
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解题步骤 2.2.5.1
-x2+5 设为等于 0
-x2+5=0
解题步骤 2.2.5.2
求解 x-x2+5=0
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解题步骤 2.2.5.2.1
从等式两边同时减去 5
-x2=-5
解题步骤 2.2.5.2.2
-x2=-5 中的每一项除以 -1 并化简。
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解题步骤 2.2.5.2.2.1
-x2=-5 中的每一项都除以 -1
-x2-1=-5-1
解题步骤 2.2.5.2.2.2
化简左边。
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解题步骤 2.2.5.2.2.2.1
将两个负数相除得到一个正数。
x21=-5-1
解题步骤 2.2.5.2.2.2.2
x2 除以 1
x2=-5-1
x2=-5-1
解题步骤 2.2.5.2.2.3
化简右边。
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解题步骤 2.2.5.2.2.3.1
-5 除以 -1
x2=5
x2=5
x2=5
解题步骤 2.2.5.2.3
取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。
x=±5
解题步骤 2.2.5.2.4
完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。
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解题步骤 2.2.5.2.4.1
首先,利用 ± 的正值求第一个解。
x=5
解题步骤 2.2.5.2.4.2
下一步,使用 ± 的负值来求第二个解。
x=-5
解题步骤 2.2.5.2.4.3
完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。
x=5,-5
x=5,-5
x=5,-5
x=5,-5
解题步骤 2.2.6
最终解为使 12x2(-x2+5)=0 成立的所有值。
x=0,5,-5
x=0,5,-5
x=0,5,-5
解题步骤 3
表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中,不存在使表达式无定义的实数。
区间计数法:
(-,)
集合符号:
{x|x}
解题步骤 4
在二阶导数为零或无意义的 x 值附近建立区间。
(-,-5)(-5,0)(0,5)(5,)
解题步骤 5
将区间 (-,-5) 内的任意数代入二阶导数中并计算,以判断该函数的凹凸性。
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解题步骤 5.1
使用表达式中的 -5 替换变量 x
f′′(-5)=-12(-5)4+60(-5)2
解题步骤 5.2
化简结果。
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解题步骤 5.2.1
化简每一项。
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解题步骤 5.2.1.1
-5 进行 4 次方运算。
f′′(-5)=-12625+60(-5)2
解题步骤 5.2.1.2
-12 乘以 625
f′′(-5)=-7500+60(-5)2
解题步骤 5.2.1.3
-5 进行 2 次方运算。
f′′(-5)=-7500+6025
解题步骤 5.2.1.4
60 乘以 25
f′′(-5)=-7500+1500
f′′(-5)=-7500+1500
解题步骤 5.2.2
-75001500 相加。
f′′(-5)=-6000
解题步骤 5.2.3
最终答案为 -6000
-6000
-6000
解题步骤 5.3
图像在区间 (-,-5) 上向下凹,因为 f′′(-5) 为负数。
由于 f′′(x) 为负,在 (-,-5) 上为向下凹
由于 f′′(x) 为负,在 (-,-5) 上为向下凹
解题步骤 6
将区间 (-5,0) 内的任意数代入二阶导数中并计算,以判断该函数的凹凸性。
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解题步骤 6.1
使用表达式中的 -1 替换变量 x
f′′(-1)=-12(-1)4+60(-1)2
解题步骤 6.2
化简结果。
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解题步骤 6.2.1
化简每一项。
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解题步骤 6.2.1.1
-1 进行 4 次方运算。
f′′(-1)=-121+60(-1)2
解题步骤 6.2.1.2
-12 乘以 1
f′′(-1)=-12+60(-1)2
解题步骤 6.2.1.3
-1 进行 2 次方运算。
f′′(-1)=-12+601
解题步骤 6.2.1.4
60 乘以 1
f′′(-1)=-12+60
f′′(-1)=-12+60
解题步骤 6.2.2
-1260 相加。
f′′(-1)=48
解题步骤 6.2.3
最终答案为 48
48
48
解题步骤 6.3
图像在区间 (-5,0) 上向上凹,因为 f′′(-1) 为正数。
由于 f′′(x) 为正,在 (-5,0) 上为向上凹
由于 f′′(x) 为正,在 (-5,0) 上为向上凹
解题步骤 7
将区间 (0,5) 内的任意数代入二阶导数中并计算,以判断该函数的凹凸性。
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解题步骤 7.1
使用表达式中的 1 替换变量 x
f′′(1)=-12(1)4+60(1)2
解题步骤 7.2
化简结果。
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解题步骤 7.2.1
化简每一项。
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解题步骤 7.2.1.1
一的任意次幂都为一。
f′′(1)=-121+60(1)2
解题步骤 7.2.1.2
-12 乘以 1
f′′(1)=-12+60(1)2
解题步骤 7.2.1.3
一的任意次幂都为一。
f′′(1)=-12+601
解题步骤 7.2.1.4
60 乘以 1
f′′(1)=-12+60
f′′(1)=-12+60
解题步骤 7.2.2
-1260 相加。
f′′(1)=48
解题步骤 7.2.3
最终答案为 48
48
48
解题步骤 7.3
图像在区间 (0,5) 上向上凹,因为 f′′(1) 为正数。
由于 f′′(x) 为正,在 (0,5) 上为向上凹
由于 f′′(x) 为正,在 (0,5) 上为向上凹
解题步骤 8
将区间 (5,) 内的任意数代入二阶导数中并计算,以判断该函数的凹凸性。
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解题步骤 8.1
使用表达式中的 5 替换变量 x
f′′(5)=-12(5)4+60(5)2
解题步骤 8.2
化简结果。
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解题步骤 8.2.1
化简每一项。
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解题步骤 8.2.1.1
5 进行 4 次方运算。
f′′(5)=-12625+60(5)2
解题步骤 8.2.1.2
-12 乘以 625
f′′(5)=-7500+60(5)2
解题步骤 8.2.1.3
5 进行 2 次方运算。
f′′(5)=-7500+6025
解题步骤 8.2.1.4
60 乘以 25
f′′(5)=-7500+1500
f′′(5)=-7500+1500
解题步骤 8.2.2
-75001500 相加。
f′′(5)=-6000
解题步骤 8.2.3
最终答案为 -6000
-6000
-6000
解题步骤 8.3
图像在区间 (5,) 上向下凹,因为 f′′(5) 为负数。
由于 f′′(x) 为负,在 (5,) 上为向下凹
由于 f′′(x) 为负,在 (5,) 上为向下凹
解题步骤 9
当函数的二阶导数为负数时,其图像向下凹,当其二阶导数为正数时,其图像向上凹。
由于 f′′(x) 为负,在 (-,-5) 上为向下凹
由于 f′′(x) 为正,在 (-5,0) 上为向上凹
由于 f′′(x) 为正,在 (0,5) 上为向上凹
由于 f′′(x) 为负,在 (5,) 上为向下凹
解题步骤 10
 [x2  12  π  xdx ]