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微积分学 示例
-25x6+5x4−25x6+5x4
解题步骤 1
将 -25x6+5x4 书写为一个函数。
f(x)=-25x6+5x4
解题步骤 2
解题步骤 2.1
求二阶导数。
解题步骤 2.1.1
求一阶导数。
解题步骤 2.1.1.1
根据加法法则,-25x6+5x4 对 x 的导数是 ddx[-25x6]+ddx[5x4]。
ddx[-25x6]+ddx[5x4]
解题步骤 2.1.1.2
计算 ddx[-25x6]。
解题步骤 2.1.1.2.1
因为 -25 对于 x 是常数,所以 -25x6 对 x 的导数是 -25ddx[x6]。
-25ddx[x6]+ddx[5x4]
解题步骤 2.1.1.2.2
使用幂法则求微分,根据该法则,ddx[xn] 等于 nxn-1,其中 n=6。
-25(6x5)+ddx[5x4]
解题步骤 2.1.1.2.3
将 6 乘以 -1。
-6(25)x5+ddx[5x4]
解题步骤 2.1.1.2.4
组合 -6 和 25。
-6⋅25x5+ddx[5x4]
解题步骤 2.1.1.2.5
将 -6 乘以 2。
-125x5+ddx[5x4]
解题步骤 2.1.1.2.6
组合 -125 和 x5。
-12x55+ddx[5x4]
解题步骤 2.1.1.2.7
将负号移到分数的前面。
-12x55+ddx[5x4]
-12x55+ddx[5x4]
解题步骤 2.1.1.3
计算 ddx[5x4]。
解题步骤 2.1.1.3.1
因为 5 对于 x 是常数,所以 5x4 对 x 的导数是 5ddx[x4]。
-12x55+5ddx[x4]
解题步骤 2.1.1.3.2
使用幂法则求微分,根据该法则,ddx[xn] 等于 nxn-1,其中 n=4。
-12x55+5(4x3)
解题步骤 2.1.1.3.3
将 4 乘以 5。
f′(x)=-12x55+20x3
f′(x)=-12x55+20x3
f′(x)=-12x55+20x3
解题步骤 2.1.2
求二阶导数。
解题步骤 2.1.2.1
根据加法法则,-12x55+20x3 对 x 的导数是 ddx[-12x55]+ddx[20x3]。
ddx[-12x55]+ddx[20x3]
解题步骤 2.1.2.2
计算 ddx[-12x55]。
解题步骤 2.1.2.2.1
因为 -125 对于 x 是常数,所以 -12x55 对 x 的导数是 -125ddx[x5]。
-125ddx[x5]+ddx[20x3]
解题步骤 2.1.2.2.2
使用幂法则求微分,根据该法则,ddx[xn] 等于 nxn-1,其中 n=5。
-125(5x4)+ddx[20x3]
解题步骤 2.1.2.2.3
将 5 乘以 -1。
-5(125)x4+ddx[20x3]
解题步骤 2.1.2.2.4
组合 -5 和 125。
-5⋅125x4+ddx[20x3]
解题步骤 2.1.2.2.5
将 -5 乘以 12。
-605x4+ddx[20x3]
解题步骤 2.1.2.2.6
组合 -605 和 x4。
-60x45+ddx[20x3]
解题步骤 2.1.2.2.7
约去 -60 和 5 的公因数。
解题步骤 2.1.2.2.7.1
从 -60x4 中分解出因数 5。
5(-12x4)5+ddx[20x3]
解题步骤 2.1.2.2.7.2
约去公因数。
解题步骤 2.1.2.2.7.2.1
从 5 中分解出因数 5。
5(-12x4)5(1)+ddx[20x3]
解题步骤 2.1.2.2.7.2.2
约去公因数。
5(-12x4)5⋅1+ddx[20x3]
解题步骤 2.1.2.2.7.2.3
重写表达式。
-12x41+ddx[20x3]
解题步骤 2.1.2.2.7.2.4
用 -12x4 除以 1。
-12x4+ddx[20x3]
-12x4+ddx[20x3]
-12x4+ddx[20x3]
-12x4+ddx[20x3]
解题步骤 2.1.2.3
计算 ddx[20x3]。
解题步骤 2.1.2.3.1
因为 20 对于 x 是常数,所以 20x3 对 x 的导数是 20ddx[x3]。
-12x4+20ddx[x3]
解题步骤 2.1.2.3.2
使用幂法则求微分,根据该法则,ddx[xn] 等于 nxn-1,其中 n=3。
-12x4+20(3x2)
解题步骤 2.1.2.3.3
将 3 乘以 20。
f′′(x)=-12x4+60x2
f′′(x)=-12x4+60x2
f′′(x)=-12x4+60x2
解题步骤 2.1.3
f(x) 对 x 的二阶导数是 -12x4+60x2。
-12x4+60x2
-12x4+60x2
解题步骤 2.2
使二阶导数等于 0,然后求解方程 -12x4+60x2=0。
解题步骤 2.2.1
将二阶导数设为等于 0。
-12x4+60x2=0
解题步骤 2.2.2
对方程左边进行因式分解。
解题步骤 2.2.2.1
将 x4 重写为 (x2)2。
-12(x2)2+60x2=0
解题步骤 2.2.2.2
使 u=x2。用 u 代入替换所有出现的 x2。
-12u2+60u=0
解题步骤 2.2.2.3
从 -12u2+60u 中分解出因数 12u。
解题步骤 2.2.2.3.1
从 -12u2 中分解出因数 12u。
12u(-u)+60u=0
解题步骤 2.2.2.3.2
从 60u 中分解出因数 12u。
12u(-u)+12u(5)=0
解题步骤 2.2.2.3.3
从 12u(-u)+12u(5) 中分解出因数 12u。
12u(-u+5)=0
12u(-u+5)=0
解题步骤 2.2.2.4
使用 x2 替换所有出现的 u。
12x2(-x2+5)=0
12x2(-x2+5)=0
解题步骤 2.2.3
如果等式左侧的任一因数等于 0,则整个表达式将等于 0。
x2=0
-x2+5=0
解题步骤 2.2.4
将 x2 设为等于 0 并求解 x。
解题步骤 2.2.4.1
将 x2 设为等于 0。
x2=0
解题步骤 2.2.4.2
求解 x 的 x2=0 。
解题步骤 2.2.4.2.1
取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。
x=±√0
解题步骤 2.2.4.2.2
化简 ±√0。
解题步骤 2.2.4.2.2.1
将 0 重写为 02。
x=±√02
解题步骤 2.2.4.2.2.2
假设各项均为正实数,从根式下提出各项。
x=±0
解题步骤 2.2.4.2.2.3
正负 0 是 0。
x=0
x=0
x=0
x=0
解题步骤 2.2.5
将 -x2+5 设为等于 0 并求解 x。
解题步骤 2.2.5.1
将 -x2+5 设为等于 0。
-x2+5=0
解题步骤 2.2.5.2
求解 x 的 -x2+5=0 。
解题步骤 2.2.5.2.1
从等式两边同时减去 5。
-x2=-5
解题步骤 2.2.5.2.2
将 -x2=-5 中的每一项除以 -1 并化简。
解题步骤 2.2.5.2.2.1
将 -x2=-5 中的每一项都除以 -1。
-x2-1=-5-1
解题步骤 2.2.5.2.2.2
化简左边。
解题步骤 2.2.5.2.2.2.1
将两个负数相除得到一个正数。
x21=-5-1
解题步骤 2.2.5.2.2.2.2
用 x2 除以 1。
x2=-5-1
x2=-5-1
解题步骤 2.2.5.2.2.3
化简右边。
解题步骤 2.2.5.2.2.3.1
用 -5 除以 -1。
x2=5
x2=5
x2=5
解题步骤 2.2.5.2.3
取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。
x=±√5
解题步骤 2.2.5.2.4
完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。
解题步骤 2.2.5.2.4.1
首先,利用 ± 的正值求第一个解。
x=√5
解题步骤 2.2.5.2.4.2
下一步,使用 ± 的负值来求第二个解。
x=-√5
解题步骤 2.2.5.2.4.3
完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。
x=√5,-√5
x=√5,-√5
x=√5,-√5
x=√5,-√5
解题步骤 2.2.6
最终解为使 12x2(-x2+5)=0 成立的所有值。
x=0,√5,-√5
x=0,√5,-√5
x=0,√5,-√5
解题步骤 3
表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中,不存在使表达式无定义的实数。
区间计数法:
(-∞,∞)
集合符号:
{x|x∈ℝ}
解题步骤 4
在二阶导数为零或无意义的 x 值附近建立区间。
(-∞,-√5)∪(-√5,0)∪(0,√5)∪(√5,∞)
解题步骤 5
解题步骤 5.1
使用表达式中的 -5 替换变量 x。
f′′(-5)=-12(-5)4+60(-5)2
解题步骤 5.2
化简结果。
解题步骤 5.2.1
化简每一项。
解题步骤 5.2.1.1
对 -5 进行 4 次方运算。
f′′(-5)=-12⋅625+60(-5)2
解题步骤 5.2.1.2
将 -12 乘以 625。
f′′(-5)=-7500+60(-5)2
解题步骤 5.2.1.3
对 -5 进行 2 次方运算。
f′′(-5)=-7500+60⋅25
解题步骤 5.2.1.4
将 60 乘以 25。
f′′(-5)=-7500+1500
f′′(-5)=-7500+1500
解题步骤 5.2.2
将 -7500 和 1500 相加。
f′′(-5)=-6000
解题步骤 5.2.3
最终答案为 -6000。
-6000
-6000
解题步骤 5.3
图像在区间 (-∞,-√5) 上向下凹,因为 f′′(-5) 为负数。
由于 f′′(x) 为负,在 (-∞,-√5) 上为向下凹
由于 f′′(x) 为负,在 (-∞,-√5) 上为向下凹
解题步骤 6
解题步骤 6.1
使用表达式中的 -1 替换变量 x。
f′′(-1)=-12(-1)4+60(-1)2
解题步骤 6.2
化简结果。
解题步骤 6.2.1
化简每一项。
解题步骤 6.2.1.1
对 -1 进行 4 次方运算。
f′′(-1)=-12⋅1+60(-1)2
解题步骤 6.2.1.2
将 -12 乘以 1。
f′′(-1)=-12+60(-1)2
解题步骤 6.2.1.3
对 -1 进行 2 次方运算。
f′′(-1)=-12+60⋅1
解题步骤 6.2.1.4
将 60 乘以 1。
f′′(-1)=-12+60
f′′(-1)=-12+60
解题步骤 6.2.2
将 -12 和 60 相加。
f′′(-1)=48
解题步骤 6.2.3
最终答案为 48。
48
48
解题步骤 6.3
图像在区间 (-√5,0) 上向上凹,因为 f′′(-1) 为正数。
由于 f′′(x) 为正,在 (-√5,0) 上为向上凹
由于 f′′(x) 为正,在 (-√5,0) 上为向上凹
解题步骤 7
解题步骤 7.1
使用表达式中的 1 替换变量 x。
f′′(1)=-12(1)4+60(1)2
解题步骤 7.2
化简结果。
解题步骤 7.2.1
化简每一项。
解题步骤 7.2.1.1
一的任意次幂都为一。
f′′(1)=-12⋅1+60(1)2
解题步骤 7.2.1.2
将 -12 乘以 1。
f′′(1)=-12+60(1)2
解题步骤 7.2.1.3
一的任意次幂都为一。
f′′(1)=-12+60⋅1
解题步骤 7.2.1.4
将 60 乘以 1。
f′′(1)=-12+60
f′′(1)=-12+60
解题步骤 7.2.2
将 -12 和 60 相加。
f′′(1)=48
解题步骤 7.2.3
最终答案为 48。
48
48
解题步骤 7.3
图像在区间 (0,√5) 上向上凹,因为 f′′(1) 为正数。
由于 f′′(x) 为正,在 (0,√5) 上为向上凹
由于 f′′(x) 为正,在 (0,√5) 上为向上凹
解题步骤 8
解题步骤 8.1
使用表达式中的 5 替换变量 x。
f′′(5)=-12(5)4+60(5)2
解题步骤 8.2
化简结果。
解题步骤 8.2.1
化简每一项。
解题步骤 8.2.1.1
对 5 进行 4 次方运算。
f′′(5)=-12⋅625+60(5)2
解题步骤 8.2.1.2
将 -12 乘以 625。
f′′(5)=-7500+60(5)2
解题步骤 8.2.1.3
对 5 进行 2 次方运算。
f′′(5)=-7500+60⋅25
解题步骤 8.2.1.4
将 60 乘以 25。
f′′(5)=-7500+1500
f′′(5)=-7500+1500
解题步骤 8.2.2
将 -7500 和 1500 相加。
f′′(5)=-6000
解题步骤 8.2.3
最终答案为 -6000。
-6000
-6000
解题步骤 8.3
图像在区间 (√5,∞) 上向下凹,因为 f′′(5) 为负数。
由于 f′′(x) 为负,在 (√5,∞) 上为向下凹
由于 f′′(x) 为负,在 (√5,∞) 上为向下凹
解题步骤 9
当函数的二阶导数为负数时,其图像向下凹,当其二阶导数为正数时,其图像向上凹。
由于 f′′(x) 为负,在 (-∞,-√5) 上为向下凹
由于 f′′(x) 为正,在 (-√5,0) 上为向上凹
由于 f′′(x) 为正,在 (0,√5) 上为向上凹
由于 f′′(x) 为负,在 (√5,∞) 上为向下凹
解题步骤 10