微积分学示例

$y = \sqrt{9 x} \cos (x)$

解题步骤 1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{9 x}$ 重写成 ${(9 x)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$y = {(9 x)}^{\frac{1}{2}} \cos (x)$

解题步骤 2

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(9 x)}^{\frac{1}{2}} \cos (x))$

解题步骤 3

$y$ 对 $x$ 的导数为 $y'$ 。

$y'$

解题步骤 4

对方程右边求微分。

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解题步骤 4.1

从 $9 x$ 中分解出因数 $9$ 。

$\frac{d}{d x} [{(9 (x))}^{\frac{1}{2}} \cos (x)]$

解题步骤 4.2

化简表达式。

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解题步骤 4.2.1

对 $9 (x)$ 运用乘积法则。

$\frac{d}{d x} [9^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} \cos (x)]$

解题步骤 4.2.2

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$\frac{d}{d x} [{(3^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} \cos (x)]$

解题步骤 4.2.3

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{d}{d x} [3^{2 (\frac{1}{2})} x^{\frac{1}{2}} \cos (x)]$

解题步骤 4.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.1

约去公因数。

$\frac{d}{d x} [3^{2 (\frac{1}{2})} x^{\frac{1}{2}} \cos (x)]$

解题步骤 4.3.2

重写表达式。

$\frac{d}{d x} [3^{1} x^{\frac{1}{2}} \cos (x)]$

解题步骤 4.4

计算指数。

$\frac{d}{d x} [3 x^{\frac{1}{2}} \cos (x)]$

解题步骤 4.5

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x^{\frac{1}{2}} \cos (x)$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} \cos (x)]$ 。

$3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} \cos (x)]$

解题步骤 4.6

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = \cos (x)$ 。

$3 (x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

解题步骤 4.7

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$3 (x^{\frac{1}{2}} (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

解题步骤 4.8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$3 (x^{\frac{1}{2}} (- \sin (x)) + \cos (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

解题步骤 4.9

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$3 (x^{\frac{1}{2}} (- \sin (x)) + \cos (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))$

解题步骤 4.10

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$3 (x^{\frac{1}{2}} (- \sin (x)) + \cos (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))$

解题步骤 4.11

在公分母上合并分子。

$3 (x^{\frac{1}{2}} (- \sin (x)) + \cos (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}))$

解题步骤 4.12

化简分子。

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解题步骤 4.12.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$3 (x^{\frac{1}{2}} (- \sin (x)) + \cos (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}))$

解题步骤 4.12.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$3 (x^{\frac{1}{2}} (- \sin (x)) + \cos (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}))$

解题步骤 4.13

将负号移到分数的前面。

$3 (x^{\frac{1}{2}} (- \sin (x)) + \cos (x) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}))$

解题步骤 4.14

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

$3 (x^{\frac{1}{2}} (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

解题步骤 4.15

组合 $\cos (x)$ 和 $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 。

$3 (x^{\frac{1}{2}} (- \sin (x)) + \frac{\cos (x) x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

解题步骤 4.16

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$3 (x^{\frac{1}{2}} (- \sin (x)) + \frac{\cos (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

解题步骤 4.17

化简。

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解题步骤 4.17.1

运用分配律。

$3 (x^{\frac{1}{2}} (- \sin (x))) + 3 \frac{\cos (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.17.2

合并项。

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解题步骤 4.17.2.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$- 3 (x^{\frac{1}{2}} (\sin (x))) + 3 \frac{\cos (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.17.2.2

组合 $3$ 和 $\frac{\cos (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ 。

$- 3 x^{\frac{1}{2}} \sin (x) + \frac{3 \cos (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 5

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$y' = - 3 x^{\frac{1}{2}} \sin (x) + \frac{3 \cos (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 6

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = - 3 x^{\frac{1}{2}} \sin (x) + \frac{3 \cos (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

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