微积分学示例

$\int \frac{{(2 x^{3} + 3 x)}^{2}}{x^{2}} d x$

解题步骤 1

通过将 $x^{2}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$\int {(2 x^{3} + 3 x)}^{2} {(x^{2})}^{- 1} d x$

解题步骤 2

将 ${(x^{2})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\int {(2 x^{3} + 3 x)}^{2} x^{2 \cdot - 1} d x$

解题步骤 2.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\int {(2 x^{3} + 3 x)}^{2} x^{- 2} d x$

解题步骤 3

展开 ${(2 x^{3} + 3 x)}^{2} x^{- 2}$ 。

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解题步骤 3.1

将 ${(2 x^{3} + 3 x)}^{2}$ 重写为 $(2 x^{3} + 3 x) (2 x^{3} + 3 x)$ 。

$\int (2 x^{3} + 3 x) (2 x^{3} + 3 x) x^{- 2} d x$

解题步骤 3.2

运用分配律。

$\int (2 x^{3} (2 x^{3} + 3 x) + 3 x (2 x^{3} + 3 x)) x^{- 2} d x$

解题步骤 3.3

运用分配律。

$\int (2 x^{3} (2 x^{3}) + 2 x^{3} (3 x) + 3 x (2 x^{3} + 3 x)) x^{- 2} d x$

解题步骤 3.4

运用分配律。

$\int (2 x^{3} (2 x^{3}) + 2 x^{3} (3 x) + 3 x (2 x^{3}) + 3 x (3 x)) x^{- 2} d x$

解题步骤 3.5

运用分配律。

$\int (2 x^{3} (2 x^{3}) + 2 x^{3} (3 x)) x^{- 2} + (3 x (2 x^{3}) + 3 x (3 x)) x^{- 2} d x$

解题步骤 3.6

运用分配律。

$\int 2 x^{3} (2 x^{3}) x^{- 2} + 2 x^{3} (3 x) x^{- 2} + (3 x (2 x^{3}) + 3 x (3 x)) x^{- 2} d x$

解题步骤 3.7

运用分配律。

$\int 2 x^{3} (2 x^{3}) x^{- 2} + 2 x^{3} (3 x) x^{- 2} + 3 x (2 x^{3}) x^{- 2} + 3 x (3 x) x^{- 2} d x$

解题步骤 3.8

移动 $x^{3}$ 。

$\int 2 \cdot 2 x^{3} x^{3} x^{- 2} + 2 x^{3} (3 x) x^{- 2} + 3 x (2 x^{3}) x^{- 2} + 3 x (3 x) x^{- 2} d x$

解题步骤 3.9

移动 $x^{3}$ 。

$\int 2 \cdot 2 x^{3} x^{3} x^{- 2} + 2 \cdot 3 x^{3} x \cdot x^{- 2} + 3 x (2 x^{3}) x^{- 2} + 3 x (3 x) x^{- 2} d x$

解题步骤 3.10

移动 $x$ 。

$\int 2 \cdot 2 x^{3} x^{3} x^{- 2} + 2 \cdot 3 x^{3} x \cdot x^{- 2} + 3 \cdot 2 x \cdot x^{3} x^{- 2} + 3 x (3 x) x^{- 2} d x$

解题步骤 3.11

移动 $x$ 。

$\int 2 \cdot 2 x^{3} x^{3} x^{- 2} + 2 \cdot 3 x^{3} x \cdot x^{- 2} + 3 \cdot 2 x \cdot x^{3} x^{- 2} + 3 \cdot 3 x \cdot x \cdot x^{- 2} d x$

解题步骤 3.12

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\int 4 x^{3} x^{3} x^{- 2} + 2 \cdot 3 x^{3} x \cdot x^{- 2} + 3 \cdot 2 x \cdot x^{3} x^{- 2} + 3 \cdot 3 x \cdot x \cdot x^{- 2} d x$

解题步骤 3.13

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int 4 x^{3 + 3} x^{- 2} + 2 \cdot 3 x^{3} x \cdot x^{- 2} + 3 \cdot 2 x \cdot x^{3} x^{- 2} + 3 \cdot 3 x \cdot x \cdot x^{- 2} d x$

解题步骤 3.14

将 $3$ 和 $3$ 相加。

$\int 4 x^{6} x^{- 2} + 2 \cdot 3 x^{3} x \cdot x^{- 2} + 3 \cdot 2 x \cdot x^{3} x^{- 2} + 3 \cdot 3 x \cdot x \cdot x^{- 2} d x$

解题步骤 3.15

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int 4 x^{6 - 2} + 2 \cdot 3 x^{3} x \cdot x^{- 2} + 3 \cdot 2 x \cdot x^{3} x^{- 2} + 3 \cdot 3 x \cdot x \cdot x^{- 2} d x$

解题步骤 3.16

从 $6$ 中减去 $2$ 。

$\int 4 x^{4} + 2 \cdot 3 x^{3} x \cdot x^{- 2} + 3 \cdot 2 x \cdot x^{3} x^{- 2} + 3 \cdot 3 x \cdot x \cdot x^{- 2} d x$

解题步骤 3.17

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$\int 4 x^{4} + 6 x^{3} x \cdot x^{- 2} + 3 \cdot 2 x \cdot x^{3} x^{- 2} + 3 \cdot 3 x \cdot x \cdot x^{- 2} d x$

解题步骤 3.18

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int 4 x^{4} + 6 (x^{3} x^{1}) x^{- 2} + 3 \cdot 2 x \cdot x^{3} x^{- 2} + 3 \cdot 3 x \cdot x \cdot x^{- 2} d x$

解题步骤 3.19

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int 4 x^{4} + 6 x^{3 + 1} x^{- 2} + 3 \cdot 2 x \cdot x^{3} x^{- 2} + 3 \cdot 3 x \cdot x \cdot x^{- 2} d x$

解题步骤 3.20

将 $3$ 和 $1$ 相加。

$\int 4 x^{4} + 6 x^{4} x^{- 2} + 3 \cdot 2 x \cdot x^{3} x^{- 2} + 3 \cdot 3 x \cdot x \cdot x^{- 2} d x$

解题步骤 3.21

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int 4 x^{4} + 6 x^{4 - 2} + 3 \cdot 2 x \cdot x^{3} x^{- 2} + 3 \cdot 3 x \cdot x \cdot x^{- 2} d x$

解题步骤 3.22

从 $4$ 中减去 $2$ 。

$\int 4 x^{4} + 6 x^{2} + 3 \cdot 2 x \cdot x^{3} x^{- 2} + 3 \cdot 3 x \cdot x \cdot x^{- 2} d x$

解题步骤 3.23

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$\int 4 x^{4} + 6 x^{2} + 6 x \cdot x^{3} x^{- 2} + 3 \cdot 3 x \cdot x \cdot x^{- 2} d x$

解题步骤 3.24

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int 4 x^{4} + 6 x^{2} + 6 (x^{1} x^{3}) x^{- 2} + 3 \cdot 3 x \cdot x \cdot x^{- 2} d x$

解题步骤 3.25

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int 4 x^{4} + 6 x^{2} + 6 x^{1 + 3} x^{- 2} + 3 \cdot 3 x \cdot x \cdot x^{- 2} d x$

解题步骤 3.26

将 $1$ 和 $3$ 相加。

$\int 4 x^{4} + 6 x^{2} + 6 x^{4} x^{- 2} + 3 \cdot 3 x \cdot x \cdot x^{- 2} d x$

解题步骤 3.27

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int 4 x^{4} + 6 x^{2} + 6 x^{4 - 2} + 3 \cdot 3 x \cdot x \cdot x^{- 2} d x$

解题步骤 3.28

从 $4$ 中减去 $2$ 。

$\int 4 x^{4} + 6 x^{2} + 6 x^{2} + 3 \cdot 3 x \cdot x \cdot x^{- 2} d x$

解题步骤 3.29

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$\int 4 x^{4} + 6 x^{2} + 6 x^{2} + 9 x \cdot x \cdot x^{- 2} d x$

解题步骤 3.30

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int 4 x^{4} + 6 x^{2} + 6 x^{2} + 9 (x^{1} x) x^{- 2} d x$

解题步骤 3.31

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int 4 x^{4} + 6 x^{2} + 6 x^{2} + 9 (x^{1} x^{1}) x^{- 2} d x$

解题步骤 3.32

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int 4 x^{4} + 6 x^{2} + 6 x^{2} + 9 x^{1 + 1} x^{- 2} d x$

解题步骤 3.33

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\int 4 x^{4} + 6 x^{2} + 6 x^{2} + 9 x^{2} x^{- 2} d x$

解题步骤 3.34

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int 4 x^{4} + 6 x^{2} + 6 x^{2} + 9 x^{2 - 2} d x$

解题步骤 3.35

从 $2$ 中减去 $2$ 。

$\int 4 x^{4} + 6 x^{2} + 6 x^{2} + 9 x^{0} d x$

解题步骤 3.36

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$\int 4 x^{4} + 6 x^{2} + 6 x^{2} + 9 \cdot 1 d x$

解题步骤 3.37

将 $9$ 乘以 $1$ 。

$\int 4 x^{4} + 6 x^{2} + 6 x^{2} + 9 d x$

解题步骤 3.38

将 $6 x^{2}$ 和 $6 x^{2}$ 相加。

$\int 4 x^{4} + 12 x^{2} + 9 d x$

解题步骤 4

将单个积分拆分为多个积分。

$\int 4 x^{4} d x + \int 12 x^{2} d x + \int 9 d x$

解题步骤 5

由于 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $4$ 移到积分外。

$4 \int x^{4} d x + \int 12 x^{2} d x + \int 9 d x$

解题步骤 6

根据幂法则， $x^{4}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{5} x^{5}$ 。

$4 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + \int 12 x^{2} d x + \int 9 d x$

解题步骤 7

由于 $12$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $12$ 移到积分外。

$4 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + 12 \int x^{2} d x + \int 9 d x$

解题步骤 8

根据幂法则， $x^{2}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{3} x^{3}$ 。

$4 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + 12 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int 9 d x$

解题步骤 9

应用常数不变法则。

$4 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + 12 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 9 x + C$

解题步骤 10

化简。

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解题步骤 10.1

化简。

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解题步骤 10.1.1

组合 $\frac{1}{5}$ 和 $x^{5}$ 。

$4 (\frac{x^{5}}{5} + C) + 12 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 9 x + C$

解题步骤 10.1.2

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $x^{3}$ 。

$4 (\frac{x^{5}}{5} + C) + 12 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 9 x + C$

解题步骤 10.2

化简。

$\frac{4 x^{5}}{5} + 4 x^{3} + 9 x + C$

解题步骤 10.3

重新排序项。

$\frac{4}{5} x^{5} + 4 x^{3} + 9 x + C$

微积分学 示例

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