微积分学示例

$\int_{\frac{1}{2}}^{1} (x^{- 3} - 5) d x$

解题步骤 1

去掉圆括号。

$\int_{\frac{1}{2}}^{1} x^{- 3} - 5 d x$

解题步骤 2

将单个积分拆分为多个积分。

$\int_{\frac{1}{2}}^{1} x^{- 3} d x + \int_{\frac{1}{2}}^{1} - 5 d x$

解题步骤 3

根据幂法则， $x^{- 3}$ 对 $x$ 的积分是 $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ 。

$- \frac{1}{2} x^{- 2}]_{\frac{1}{2}}^{1} + \int_{\frac{1}{2}}^{1} - 5 d x$

解题步骤 4

应用常数不变法则。

$- \frac{1}{2} x^{- 2}]_{\frac{1}{2}}^{1} + - 5 x]_{\frac{1}{2}}^{1}$

解题步骤 5

化简答案。

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解题步骤 5.1

组合 $- \frac{1}{2} x^{- 2}]_{\frac{1}{2}}^{1}$ 和 $- 5 x]_{\frac{1}{2}}^{1}$ 。

$- \frac{1}{2} x^{- 2} - 5 x]_{\frac{1}{2}}^{1}$

解题步骤 5.2

代入并化简。

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解题步骤 5.2.1

计算 $- \frac{1}{2} x^{- 2} - 5 x$ 在 $1$ 处和在 $\frac{1}{2}$ 处的值。

$(- \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2} - 5 \cdot 1) - (- \frac{1}{2} {(\frac{1}{2})}^{- 2} - 5 (\frac{1}{2}))$

解题步骤 5.2.2

化简。

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解题步骤 5.2.2.1

一的任意次幂都为一。

$- \frac{1}{2} \cdot 1 - 5 \cdot 1 - (- \frac{1}{2} {(\frac{1}{2})}^{- 2} - 5 (\frac{1}{2}))$

解题步骤 5.2.2.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{1}{2} - 5 \cdot 1 - (- \frac{1}{2} {(\frac{1}{2})}^{- 2} - 5 (\frac{1}{2}))$

解题步骤 5.2.2.3

将 $- 5$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{1}{2} - 5 - (- \frac{1}{2} {(\frac{1}{2})}^{- 2} - 5 (\frac{1}{2}))$

解题步骤 5.2.2.4

要将 $- 5$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$- \frac{1}{2} - 5 \cdot \frac{2}{2} - (- \frac{1}{2} {(\frac{1}{2})}^{- 2} - 5 (\frac{1}{2}))$

解题步骤 5.2.2.5

组合 $- 5$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$- \frac{1}{2} + \frac{- 5 \cdot 2}{2} - (- \frac{1}{2} {(\frac{1}{2})}^{- 2} - 5 (\frac{1}{2}))$

解题步骤 5.2.2.6

在公分母上合并分子。

$\frac{- 1 - 5 \cdot 2}{2} - (- \frac{1}{2} {(\frac{1}{2})}^{- 2} - 5 (\frac{1}{2}))$

解题步骤 5.2.2.7

化简分子。

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解题步骤 5.2.2.7.1

将 $- 5$ 乘以 $2$ 。

$\frac{- 1 - 10}{2} - (- \frac{1}{2} {(\frac{1}{2})}^{- 2} - 5 (\frac{1}{2}))$

解题步骤 5.2.2.7.2

从 $- 1$ 中减去 $10$ 。

$\frac{- 11}{2} - (- \frac{1}{2} {(\frac{1}{2})}^{- 2} - 5 (\frac{1}{2}))$

解题步骤 5.2.2.8

将负号移到分数的前面。

$- \frac{11}{2} - (- \frac{1}{2} {(\frac{1}{2})}^{- 2} - 5 (\frac{1}{2}))$

解题步骤 5.2.2.9

通过将底数重写为其倒数的方式改变指数的符号。

$- \frac{11}{2} - (- \frac{1}{2} \cdot 2^{2} - 5 (\frac{1}{2}))$

解题步骤 5.2.2.10

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$- \frac{11}{2} - (- \frac{1}{2} \cdot 4 - 5 (\frac{1}{2}))$

解题步骤 5.2.2.11

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$- \frac{11}{2} - (- 4 (\frac{1}{2}) - 5 (\frac{1}{2}))$

解题步骤 5.2.2.12

组合 $- 4$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$- \frac{11}{2} - (\frac{- 4}{2} - 5 (\frac{1}{2}))$

解题步骤 5.2.2.13

约去 $- 4$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.2.13.1

从 $- 4$ 中分解出因数 $2$ 。

$- \frac{11}{2} - (\frac{2 \cdot - 2}{2} - 5 (\frac{1}{2}))$

解题步骤 5.2.2.13.2

约去公因数。

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解题步骤 5.2.2.13.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$- \frac{11}{2} - (\frac{2 \cdot - 2}{2 (1)} - 5 (\frac{1}{2}))$

解题步骤 5.2.2.13.2.2

约去公因数。

$- \frac{11}{2} - (\frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1} - 5 (\frac{1}{2}))$

解题步骤 5.2.2.13.2.3

重写表达式。

$- \frac{11}{2} - (\frac{- 2}{1} - 5 (\frac{1}{2}))$

解题步骤 5.2.2.13.2.4

用 $- 2$ 除以 $1$ 。

$- \frac{11}{2} - (- 2 - 5 (\frac{1}{2}))$

解题步骤 5.2.2.14

组合 $- 5$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$- \frac{11}{2} - (- 2 + \frac{- 5}{2})$

解题步骤 5.2.2.15

将负号移到分数的前面。

$- \frac{11}{2} - (- 2 - \frac{5}{2})$

解题步骤 5.2.2.16

要将 $- 2$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$- \frac{11}{2} - (- 2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{5}{2})$

解题步骤 5.2.2.17

组合 $- 2$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$- \frac{11}{2} - (\frac{- 2 \cdot 2}{2} - \frac{5}{2})$

解题步骤 5.2.2.18

在公分母上合并分子。

$- \frac{11}{2} - \frac{- 2 \cdot 2 - 5}{2}$

解题步骤 5.2.2.19

化简分子。

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解题步骤 5.2.2.19.1

将 $- 2$ 乘以 $2$ 。

$- \frac{11}{2} - \frac{- 4 - 5}{2}$

解题步骤 5.2.2.19.2

从 $- 4$ 中减去 $5$ 。

$- \frac{11}{2} - \frac{- 9}{2}$

解题步骤 5.2.2.20

将负号移到分数的前面。

$- \frac{11}{2} - - \frac{9}{2}$

解题步骤 5.2.2.21

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$- \frac{11}{2} + 1 (\frac{9}{2})$

解题步骤 5.2.2.22

将 $\frac{9}{2}$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{11}{2} + \frac{9}{2}$

解题步骤 5.2.2.23

在公分母上合并分子。

$\frac{- 11 + 9}{2}$

解题步骤 5.2.2.24

将 $- 11$ 和 $9$ 相加。

$\frac{- 2}{2}$

解题步骤 5.2.2.25

约去 $- 2$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.2.25.1

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cdot - 1}{2}$

解题步骤 5.2.2.25.2

约去公因数。

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解题步骤 5.2.2.25.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)}$

解题步骤 5.2.2.25.2.2

约去公因数。

$\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.2.2.25.2.3

重写表达式。

$\frac{- 1}{1}$

解题步骤 5.2.2.25.2.4

用 $- 1$ 除以 $1$ 。

$- 1$

解题步骤 6

微积分学 示例

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