微积分学示例

${(\frac{\cos (2 x)}{x})}^{3}$

解题步骤 1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{3}$ 且 $g (x) = \frac{\cos (2 x)}{x}$ 。

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解题步骤 1.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $\frac{\cos (2 x)}{x}$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d x} [\frac{\cos (2 x)}{x}]$

解题步骤 1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d x} [\frac{\cos (2 x)}{x}]$

解题步骤 1.3

使用 $\frac{\cos (2 x)}{x}$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$3 {(\frac{\cos (2 x)}{x})}^{2} \frac{d}{d x} [\frac{\cos (2 x)}{x}]$

解题步骤 2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = \cos (2 x)$ 且 $g (x) = x$ 。

$3 {(\frac{\cos (2 x)}{x})}^{2} \frac{x \frac{d}{d x} [\cos (2 x)] - \cos (2 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \cos (x)$ 且 $g (x) = 2 x$ 。

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解题步骤 3.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $2 x$ 。

$3 {(\frac{\cos (2 x)}{x})}^{2} \frac{x (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x]) - \cos (2 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 3.2

$\cos (u_{2})$ 对 $u_{2}$ 的导数为 $- \sin (u_{2})$ 。

$3 {(\frac{\cos (2 x)}{x})}^{2} \frac{x (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x]) - \cos (2 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 3.3

使用 $2 x$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$3 {(\frac{\cos (2 x)}{x})}^{2} \frac{x (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) - \cos (2 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 4

求微分。

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解题步骤 4.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$3 {(\frac{\cos (2 x)}{x})}^{2} \frac{x (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])) - \cos (2 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 4.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$3 {(\frac{\cos (2 x)}{x})}^{2} \frac{x (- 2 \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x]) - \cos (2 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 4.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$3 {(\frac{\cos (2 x)}{x})}^{2} \frac{x (- 2 \sin (2 x) \cdot 1) - \cos (2 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 4.4

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$3 {(\frac{\cos (2 x)}{x})}^{2} \frac{x (- 2 \sin (2 x)) - \cos (2 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 4.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$3 {(\frac{\cos (2 x)}{x})}^{2} \frac{x (- 2 \sin (2 x)) - \cos (2 x) \cdot 1}{x^{2}}$

解题步骤 4.6

合并分数。

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解题步骤 4.6.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$3 {(\frac{\cos (2 x)}{x})}^{2} \frac{x (- 2 \sin (2 x)) - \cos (2 x)}{x^{2}}$

解题步骤 4.6.2

组合 $\frac{x (- 2 \sin (2 x)) - \cos (2 x)}{x^{2}}$ 和 $3$ 。

$\frac{(x (- 2 \sin (2 x)) - \cos (2 x)) \cdot 3}{x^{2}} {(\frac{\cos (2 x)}{x})}^{2}$

解题步骤 4.6.3

将 $3$ 移到 $x (- 2 \sin (2 x)) - \cos (2 x)$ 的左侧。

$\frac{3 \cdot (x (- 2 \sin (2 x)) - \cos (2 x))}{x^{2}} {(\frac{\cos (2 x)}{x})}^{2}$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

对 $\frac{\cos (2 x)}{x}$ 运用乘积法则。

$\frac{3 (x (- 2 \sin (2 x)) - \cos (2 x))}{x^{2}} \cdot \frac{\cos^{2} (2 x)}{x^{2}}$

解题步骤 5.2

运用分配律。

$\frac{3 (x (- 2 \sin (2 x))) + 3 (- \cos (2 x))}{x^{2}} \cdot \frac{\cos^{2} (2 x)}{x^{2}}$

解题步骤 5.3

合并项。

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解题步骤 5.3.1

将 $- 2$ 乘以 $3$ 。

$\frac{- 6 (x (\sin (2 x))) + 3 (- \cos (2 x))}{x^{2}} \cdot \frac{\cos^{2} (2 x)}{x^{2}}$

解题步骤 5.3.2

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$\frac{- 6 x \sin (2 x) - 3 \cos (2 x)}{x^{2}} \cdot \frac{\cos^{2} (2 x)}{x^{2}}$

解题步骤 5.3.3

将 $\frac{- 6 x \sin (2 x) - 3 \cos (2 x)}{x^{2}}$ 乘以 $\frac{\cos^{2} (2 x)}{x^{2}}$ 。

$\frac{(- 6 x \sin (2 x) - 3 \cos (2 x)) \cos^{2} (2 x)}{x^{2} x^{2}}$

解题步骤 5.3.4

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 5.3.4.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{(- 6 x \sin (2 x) - 3 \cos (2 x)) \cos^{2} (2 x)}{x^{2 + 2}}$

解题步骤 5.3.4.2

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$\frac{(- 6 x \sin (2 x) - 3 \cos (2 x)) \cos^{2} (2 x)}{x^{4}}$

解题步骤 5.4

重新排序项。

$\frac{\cos^{2} (2 x) (- 6 x \sin (2 x) - 3 \cos (2 x))}{x^{4}}$

解题步骤 5.5

从 $- 6 x \sin (2 x) - 3 \cos (2 x)$ 中分解出因数 $3$ 。

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解题步骤 5.5.1

从 $- 6 x \sin (2 x)$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{\cos^{2} (2 x) (3 (- 2 x \sin (2 x)) - 3 \cos (2 x))}{x^{4}}$

解题步骤 5.5.2

从 $- 3 \cos (2 x)$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{\cos^{2} (2 x) (3 (- 2 x \sin (2 x)) + 3 (- \cos (2 x)))}{x^{4}}$

解题步骤 5.5.3

从 $3 (- 2 x \sin (2 x)) + 3 (- \cos (2 x))$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{\cos^{2} (2 x) (3 (- 2 x \sin (2 x) - \cos (2 x)))}{x^{4}}$

$\frac{\cos^{2} (2 x) \cdot 3 (- 2 x \sin (2 x) - \cos (2 x))}{x^{4}}$

解题步骤 5.6

将 $3$ 移到 $\cos^{2} (2 x)$ 的左侧。

$\frac{3 \cdot \cos^{2} (2 x) (- 2 x \sin (2 x) - \cos (2 x))}{x^{4}}$

解题步骤 5.7

从 $- 2 x \sin (2 x)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{3 \cos^{2} (2 x) (- (2 x \sin (2 x)) - \cos (2 x))}{x^{4}}$

解题步骤 5.8

从 $- \cos (2 x)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{3 \cos^{2} (2 x) (- (2 x \sin (2 x)) - (\cos (2 x)))}{x^{4}}$

解题步骤 5.9

从 $- (2 x \sin (2 x)) - (\cos (2 x))$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{3 \cos^{2} (2 x) (- (2 x \sin (2 x) + \cos (2 x)))}{x^{4}}$

解题步骤 5.10

将 $- (2 x \sin (2 x) + \cos (2 x))$ 重写为 $- 1 (2 x \sin (2 x) + \cos (2 x))$ 。

$\frac{3 \cos^{2} (2 x) (- 1 (2 x \sin (2 x) + \cos (2 x)))}{x^{4}}$

解题步骤 5.11

将负号移到分数的前面。

$- \frac{(3 \cos^{2} (2 x)) (2 x \sin (2 x) + \cos (2 x))}{x^{4}}$

解题步骤 5.12

将 $- \frac{(3 \cos^{2} (2 x)) (2 x \sin (2 x) + \cos (2 x))}{x^{4}}$ 中的因式重新排序。

$- \frac{3 \cos^{2} (2 x) (2 x \sin (2 x) + \cos (2 x))}{x^{4}}$

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