微积分学示例

$f (x) = 2 x + e^{2 x}$

解题步骤 1

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 2

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int 2 x + e^{2 x} d x$

解题步骤 3

将单个积分拆分为多个积分。

$\int 2 x d x + \int e^{2 x} d x$

解题步骤 4

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$2 \int x d x + \int e^{2 x} d x$

解题步骤 5

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int e^{2 x} d x$

解题步骤 6

使 $u = 2 x$ 。然后使 $d u = 2 d x$ ，以便 $\frac{1}{2} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 6.1

设 $u = 2 x$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 6.1.1

对 $2 x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 6.1.2

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 6.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 \cdot 1$

解题步骤 6.1.4

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2$

解题步骤 6.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int e^{u} \frac{1}{2} d u$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$2 (\frac{x^{2}}{2} + C) + \int e^{u} \frac{1}{2} d u$

解题步骤 7.2

组合 $e^{u}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$2 (\frac{x^{2}}{2} + C) + \int \frac{e^{u}}{2} d u$

解题步骤 8

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$2 (\frac{x^{2}}{2} + C) + \frac{1}{2} \int e^{u} d u$

解题步骤 9

$e^{u}$ 对 $u$ 的积分为 $e^{u}$ 。

$2 (\frac{x^{2}}{2} + C) + \frac{1}{2} (e^{u} + C)$

解题步骤 10

化简。

$x^{2} + \frac{1}{2} e^{u} + C$

解题步骤 11

使用 $2 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$x^{2} + \frac{1}{2} e^{2 x} + C$

解题步骤 12

答案是函数 $f (x) = 2 x + e^{2 x}$ 的不定积分。

$F (x) =$ $x^{2} + \frac{1}{2} e^{2 x} + C$

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